WisFaq!

Alternatief voor impliciete formule

De formule:

x = y³ / (1-y)^c

is impliciet en dus niet voor y expliciet te herschrijven.
Dat kan numeriek maar is er een analytische formule te 'bepalen' / 'verzinnen' die er op lijkt?

Rob & Onno
25-4-2016

Antwoord

Dat hangt allemaal een beetje van de $c$ af: als $c=3$ komen we op $\sqrt[3]x=\frac{y}{1-y}$, als $c=3$ wordt het $\sqrt[3]x=y(1-y)$ en in beide gevallen is er wel wat mee te doen. Zo zijn er nog wel wat waarden van $c$ die wat opleveren: $c=0$, $c=\pm1$, $c=\pm2$, $c=\pm 4$. Die leiden tot vergelijkingen van graad ten hoogste $4$ en daar zijn formules voor in termen van wortels en optellen en vermenigvuldigen. Voor andere gehele waarden van $c$ kan het ook, maar de formules bevatten functies die niet echt elementair zijn: modulaire functies.
Voor gebroken en irrationale waarden van $c$ wordt het echt lastig; een programma als Maple geeft niet eens een antwoord als je een willekeurige $c$ gebruikt. Dat is een veeg teken.

kphart
25-4-2016