WisFaq!

Een breinbreker

Volgende 'leuke' oefening heeft mij al aangezet tot enkele leuke uurtjes van proberen en blijven proberen, moa tot hiertoe nog zonder resultaat:

"3 getallen vormen een meetkundige rij. Tel je bij het middenste 2 op, dan krijg je een rekenkundige rij. Tel je dan weer bij het middenste 2 op en bij het laatste 20, krijg je weer een rekenkundige rij. Bepaal de oorspronkelijke rij."

Elk idee/invalshoek is meer dan welkom.

Roel De Nijs
21-2-2003

Antwoord

In de eerste plaats denk ik dat de derde rij die je maakt niet rekenkundig kan zijn, zoals je schrijft.

Noem de meetkundige beginrij (I) a, ar, ar²
De rekenkundige tweede rij (II) is dan: a, ar + 2, ar²
De rekenkundige derde rij (III) is a, ar + 4, ar² + 20

(II) geeft: 2(ar + 2) = a + ar² ofwel ar² - 2ar + a = 4
(III) geeft: 2(ar + 4) = a + ar² + 20 of ar² - 2ar + a = -12

Maar deze twee vergelijkingen zijn dan strijdig met elkaar.

Ik vermoed daarom dat de derde rij meetkundig moet zijn, en ga daar nu maar even vanuit.

Uit(iii) komt dan (ar + 4)² = a.(ar² + 20) of ar = 2¹/₂a - 2
Dit vul ik in in a.ar - 2ar + a = 4 (komt uit II, zie boven) en dat levert op (2¹/₂a - 2).r - 5a + 4 + a = 4 of r = 8a/(5a - 4)

Uit ar = 2¹/₂a - 2 volgt ook r = (5a - 4)/(2a)

Gelijkstelling geeft dan (5a - 4)² = 16a zodat 5a - 4 = 4a of 5a - 4 = -4a.

Je vindt dus 2 waarden voor a, die leveren ieder weer een r op en dan moet je maar even nagaan of de gevonden beginrij inderdaad aan de voorwaarden voldoet.
Het kan misschien allemaal veel slimmer en handiger, maar ik was al blij dat toen een fatsoenlijke oplossing uit kwam.

Tot slot een cri de coeur:
zonder de Belgisch-Nederlandse verhoudingen op scherp te willen zetten, moet me toch van het hart het verbazend te vinden dat men zich blijkbaar op Belgische universiteiten nog bezighoudt met dit soort opgaven. Ze misstaan niet in puzzelrubrieken, maar of het nou veel bijdraagt tot de kennis van de rekenkundige en meetkundige rijen betwijfel ik.

MBL
21-2-2003