WisFaq!

Vorm van idempotente nxn matrix

Beste,

Ik heb moeite met het oplossen van vraag 3 van p. 84 van het boek Wiskundige basisvaardigheden. De vraag luidt: "Bepaal alle mogelijke 2x2-matrices met niet-nulle determinant die idempotent zijn. Doe hetzelfde voor 3x3-matrices. Kan je dit veralgemenen naar vierkante matrices met orde n?"

Ik heb het hoofdstuk Lineaire algebra gelezen en weet wat een idempotente matrix is. Toch lukt het me niet om die vraag op te lossen.

Dit is hoe ik het heb aangepakt: Ik ben begonnen met een algemene 2x2 matrix "A" op te stellen, die er zo uitziet: a11= a, a12= b, a21= c, a22= d. Daarna heb ik die matrix met zichzelf vermenigvuldigt en heb dan de elementen van A² gelijkgesteld aan de elementen van A en kreeg dus deze uitdrukkingen:
* a²+bc=a
* b(a+d)=b
* c(a+d)=c
* d²+bc=d

Hieruit constateerde ik dat a+d=1, maar voor de rest heb ik niets kunnen vinden. Achter een idempotente 3x3- en nxn-matrix heb ik nog niet gezocht.

Bij voorbaat dank.

Ibrahim
24-4-2016

Antwoord

Je conclusie dat $a+d=1$ is voorbarig, er zou ook kunnen gelden dat $b=c=0$.
Je moet je twee dingen realiseren als $A^2=A$ en $\det A\neq0$: het laatste impliceert dat elk stelsel $Ax=b$ een oplossing heeft, en uit het eerste volgt dan $Ab=A^2x=Ax=b$. Welke matrix $A$ heeft de eigenschap dat $Ab=b$ voor alle $b$?

kphart
25-4-2016