WisFaq!

Formule omkeren

Hallo,

Ik ben bezig geweest om een formule op te stellen om het aantal assen van een kubus in elke dimensie te berekenen.

Omdat het aantal hoeken van een kubus per dimensie verdubbelt, ben ik begonnen met:

Aantal hoeken = 2 ^ dimensie.
(^ betekent "tot de" net zoals op mijn rekenmachine)

En omdat het aantal assen wat aan een hoek vast zit gelijk is aan de dimensie ben ik uitgekomen op:

Aantal aseinden = 2 ^ dimensie * dimensie

En omdat elke as twee uiteinden heeft deel je dat weer door twee om het aantal assen ipv het aantal as-einden te krijgen. Dus de uiteindelijke formule is:

Aantal assen = 2 ^ dimensie x dimensie / 2

Ik kwam er achter dat je met deze formule ook kunt berekenen hoeveel assen een kubus in een dimensie onder de nul of tussen twee dimensie's in kunt berekenen, oftwel; de formule werkt met onnatuurlijke getallen. Ik weet bijna zeker dat er geen halve dimensies bestaan, maar ik kwam op het idee om te berekenen in de hoeveelste dimensie een kubus van bijvoorbeeld 5 assen bestaat. Daarvoor moest ik de formule omdraaien:

Aantal assen = 2 ^ dimensie * dimensie / 2

Schrijf ik op als:

A = 2^D*D/2

En dan het omkeren:

A = 2^D*D/2
*2 *2
A*2 = 2^D*D

En dan lopen ik, mijn vader en zelfs mijn wiskundeleraar vast.

Ik hoop dat u deze formule verder kunt omdraaien. Voor alle duidelijkheid hier de vraag in het kort:

A = 2^D*D/2

Wat is D?

Alvast bedankt,

Gr. Lars vd Werf

Lars van der Werf
23-4-2016

Antwoord

Je wilt dus de inverse functie van $f(x)=\frac12x2^x$ weten.
Er is een uitdrukking voor die inverse; als we jouw letters gebruiken dan krijgen we
$$
D = \frac{W(2\cdot\ln2\cdot A)}{\ln 2}
$$
Hierbij is $W$ de zogeheten Functie $W$ van Lambert. Die functie is de inverse van $x\mapsto x\mathrm{e}^x$. Het probleem is dat die functie niet in de bekende functies als wortel $\mathrm{e}$-macht, logaritme, ..., is uit te drukken (dat is bewezen) en daarom een eigen naam, $W$ dus, heeft gekregen.
Je kunt meer over die functie op de Wikipedia-pagina hieronder lezen; kijk ook naar de voorbeelden.

Zie Wikipedia: Lambert's W-functie [https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function]

kphart
23-4-2016