WisFaq!

Euler

Een complex getal is: z=x+yi = r · cos(phi)+i·sin(phi)
z=1 op de eenheidscirkel. Er geldt:
cos(phi)+i·sin(phi) = wortel[cos²(phi) + sin²(phi)]=√(1)=1
Maar ik heb:
cos(phi)+i·sin(phi) = wortel[cos²(phi) + i² · sin²(phi)]
i²=-1 $\Rightarrow$
cos(phi)+i·sin(phi) = wortel[cos²(phi) - 1 · sin²(phi)]
Waar maak ik de fout?

Herman
18-4-2016

Antwoord

Waar jij op doelt is dat voor punten z op de eenheidscirkel geldt dat |z|(=r)=1, niet z=1!

De definitie van de absolute waarde |a+bi| is $$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$$Die getallen a en b staan voor het "reële deel" en het "imaginaire deel" van het complexe getal.

Passen we deze absolute waarde in jouw geval toe op het punt $\cos(\phi)+i\sin(\phi)$, dan krijgen we
$$|\cos(\phi)+i\sin(\phi)| = \sqrt{\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi)}=\sqrt{1}=1$$De berekening die je daaronder geeft $$\cos(\phi)+i·\sin(\phi) = \sqrt{\cos^2(\phi) + i^2 · \sin^2(\phi)}$$berekent kennelijk niet de absolute waarde (en het =-teken staat er sowieso onterecht, je noteert de absolute waarde immers niet).

Ik denk dat je $i·\sin(\phi)$ als imaginair deel hebt geteld, en niet $\sin(\phi)$, zonder $i$ dus. Dat is wel een fundamenteel verschil!

Het idee is juist dat het imaginaire deel een reëel getal is, zodat we een complex getal als combinatie van twee reële getallen kunnen weergeven. Zo tekenen we een complex getal ook in een assenstelsel: het punt a+bi krijgt coördinaten (a,b). Ten opzichte van het traditionele assenstelsel Oxy wordt nu de $x-$as de "reële as" waarop het reële deel wordt uitgezet en de $y-$as de "imaginaire as" waarop het imaginaire deel wordt uitgezet.

Met vriendelijke groeten,

FvL
18-4-2016