WisFaq!

Complexe vergelijking

Dag Wisfaq,

Ik ben al een tijdje aan het proberen om volgende vergelijking, in toepassing van DE MOIVRE ,op te lossen maar ik kom er niet uit.

(cosa+isina)·(cos2a+isin2a)·(cos3a+isin3a)=-1

Ik werkte als volgt: wetende dat i²=-1

cos(a)+isin(a) is standaard de eerste vergelijking
cos2a+isin2a= (cosa+isina)²= cos²a-sin²a+2isinacosa
cos3a+isin3a= (cosa+isina)³
= cos³(a)+3icos²(a).sin(a) +3i²sin²(a)cos(a)+i³i³sin³(a)
= cos³(a)-3cos(a)sin²(a)+((3cos²(a)sin(a)-sin³(a)))·i
= 4cos³(a)-3cos(a))+((3sin(a)-4sin³(a)).i
=((cos(a)+isin(a))((cos²(a)-sin²(a)+2isin(a)·cos(a))·
((4cos²(a)-3cos(a) +3sin(a)-4sin³(a))=-1
Ik begin mij af te vragen of er geen beknoptere methode is dan deze want het geeft enorm veel rekenwerk waar ik niet verder uitkom....
Ik vrees dat mijn methode tot oplossing wat te omslachtig is en dat er een vlottere, oplossing moet mogelijk zijn.
Graag wat hulp aub...
Groetjes
Rik

Rik Lemmens
11-4-2016

Antwoord

Hallo Rik,

Wat dacht je van het gebruiken van
$(\cos(a)+i\sin(a))\cdot(\cos(2a)+i\sin(2a))\cdot(\cos(3a)+i\sin(3a)) =$
$(\cos(a)+i\sin(a))\cdot(\cos(a)+i\sin(a))^2\cdot(\cos(a)+i\sin(a))^3 =$
$(\cos(a)+i\sin(a))^6 = (\cos(6a)+i\sin(6a))$?

Groeten,

FvL
11-4-2016