WisFaq!

De verzameling van complexe getallen

Goede avond,

Bepaal de verzameling van de complexe getallen c=x+yi waarvoor geldt:
a) c^-2 is reeël
b) c^-2 is imaginair
Ik werkte als volgt:
1/c² =1/(x+yi)²
1/(x²+2xyi+y²i²)
1/(x²-y²+2xyi)
(x²-y²-2xyi)/((x²-y²)+2xyi)(x²-y²-2xyi))
(x²-y²-2xyi)/((x²-y²)²-4x²y²i²))
(x²-y²-2xyi)/(x^4+y^4-2x²y²+4x²y²)
(x²-y²-2xyi)/(x²+y²)²
Beschouw ik nu in de teller her reële deel¨x²-y² dan zou ik deze functie kunnen ontbinden in 2 rechten (x-y=0 en x+y=0)
Is dit de bedoeling van die verzameling die hier gevraagd
wordt ??
Of zit ik op een verkeerd spoor? En wat dan met vraag 2 voor het imaginaire gedeelte waar ik dan zou bekomen:
2xyi=0 of xy=0 met x=0 of y=0 maar niet beide ?
Wat goede tips zijn welkom. Misschien heb ik de vraag verkeerd begrepen?
Nog een goede avond
Rik

Rik Lemmens
7-4-2016

Antwoord

Beste Rik,

Je rekenwerk is goed, maar de conclusies draai je (ongeveer) om. Na vereenvoudigen vind je dus dat 1/c² met c = x+yi gelijk is aan
$$\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}i$$Ik heb het in de standaardvorm 'a+bi' geschreven zodat het reële (a) en imaginaire (b) deel duidelijk zijn.

Opdat dit getal zuiver reëel is, moet het imaginaire deel gelijk zijn aan 0. Dat gebeurt enkel wanneer $-2xy = 0$ en dus wanneer $x=0$ of $y=0$ of beide (grafische interpretatie?).

Het getal is zuiver imaginair als het reële deel 0 is en dat gebeurt enkel wanneer $x^2-y^2 = 0 \Leftrightarrow (x-y)(x+y)=0$ dus wanneer $x = \pm y$ (grafische interpretatie?).

mvg,
Tom

td
8-4-2016