WisFaq!

Re: Derdegraads vergelijking

Derdegraads vergelijkingen hebben altijd 3 oplossingen: 3 reële oplossingen of 1 reële en 2 irreële (complexe oplossingen). Bij de vergelijking ax³+bx²+cx+d kan men ieder getal invullen voor a, b, c, en d maar wat nou als men daar een irreëel getal invult, wat gebeurt er dan?

derrick quak
3-4-2016

Antwoord

We zullen 's een voorbeeld doen dan maar...

Neem de vergelijking $
x^3 - 2x^2 + x - 2 = 0
$. Oplossen geeft:

$
\begin{array}{l}
x^3 - 2x^2 + x - 2 = 0 \\
(x - 1)\left( {x^2 + 1} \right) = 0 \\
x - 1 = 0 \vee x{}^2 + 1 = 0 \\
x = 1 \vee x^2 = - 1 \\
x = 1 \vee x = - i \vee x = i \\
\end{array}
$

Dat zijn 3 oplossingen. Eén reële oplossing en twee imaginaire oplossingen. Als je $x=1$ of $x=-i$ of $x=i$ invult in de vergelijkingen dat ontstaat er een ware bewering. Ik zal $x=-i$ invullen:

$
\begin{array}{l}
x^3 - 2x^2 + x - 2 = 0 \\
\left( { - i} \right)^3 - 2\left( { - i} \right)^2 + - i - 2 = 0 \\
i - 2 \cdot - 1 - i - 2 = 0 \\
i + 2 - i - 2 = 0 \\
0 = 0 \\
\end{array}
$

...en dat klopt... uiteraard...

WvR
3-4-2016