WisFaq!

Integreren

Hallo,

Ik had graag wat hulp gehad bij de volgende oefening.

De cirkel met vergelijking x²+y²=9 wordt gesneden door 2 verticalen x=a en x=b. Bepaal a en b zodanig dat de cirkel in drie gelijke delen wordt verdeeld.

Ik kwam uit op de volgende integraal: 2·Integraal(√(9-x²)dx) met ondergrens=-b en bovengrens=b. En deze moet gelijk zijn 3p. Klopt dit al? Ik heb deze integraal proberen uitwerken en ik kwam uit op 2·Bgsin(b/3)+(2·b/9)·√(9-b²)=p/3. Nu weet ik niet hoe hieruit b kan halen (in het geval dit klopt).

Alvast bedankt.

• Integreren

Jan
3-4-2016

Antwoord

De vraag is aan klein beetje dubbelzinnig: gaat het om de cirkel zelf (de kromme) of de schijf (het ingesloten gebied)?
In het eerste geval kun je $a=-3$ nemen en $b=\frac32$; dan snij je de kromme in drie stukken die elk $2\pi$ lang zijn.
In het tweede gevalmoeten $a$ en $b$ inderdaad tegengesteld zijn en wordt de oppervlakte van het middenstuk inderdaad gegeven door
$$
2\int_{-b}^b\sqrt{9-x^2}\,\mathrm{d}x=2b\sqrt{9-b^2}+18\arcsin\frac b3
$$
en dat moet gelijk zijn aan $3\pi$. Je vergelijking klopt.
Die vergelijking is verder niet algebraïsch aan te pakken; een numerieke benadering van de oplossing is $0{,}7947962538$.

kphart
3-4-2016