Een jaarlijks bedrag $X_j$ met een jaarlijkse indexering van $i\%$ over een periode van 20 jaar wordt reeds na 5 jaar als een kapitaal $W$ uitbetaald.
- Hoeveel is $W$ teneinde het verschuldigde bedrag over 20 jaar te compenseren rekening houdend dat $W$ na 5 jaar ook als kapitaal kan worden uitgezet met een intrest $p\%$ nog gedurende 15 jaar.
jean-pierre De Braekeleer
26-3-2016
Om deze vraag te beantwoorden zijn twee bedragen van belang: het bedrag dat was uitgekeerd als het proces de gehele twintig jaar had doorgelopen en het bedrag dat we kunnen ophalen met het investeren van $W$. Uiteindelijk willen we graag dat die bedragen aan elkaar gelijk zijn.
We bekijken eerst welk bedrag we hadden kunnen krijgen als we 20 jaar hadden ingelegd. Hiertoe noteren we de indexering als een groeifactor: $r= 1 + i \cdot 0,01$. Dan krijgen we de som:
$\sum_{k=1}^{20} X_j \cdot r^k$
$r \sum_{k=0}^{19} X_j \cdot r^k$
Deze sommatie geeft ons $X_j \cdot r \frac{1-r^{20}}{1-r}$. (Als je niet weet waarom, kun je hier een uitleg vinden.)
Voor het andere bedrag weten we dat we een hoofdsom $W$ hebben die gedurende 15 jaar kan worden geïnvesteerd tegen een rendement van $p%$. Ook hier voeren we weer een notatie in: $s= 1 + p \cdot 0,01$. Dan vinden we dat we aan het eind van de 20 jaar een bedrag hebben van $W \cdot s^{15}$.
Omdat we willen dat deze bedragen aan elkaar gelijk zijn, vinden we de volgende vergelijking $W \cdot s^{15}=X_j \cdot r \frac{1-r^{20}}{1-r}$. Oplossen geeft $W=X_j \cdot \frac{r}{s^{15}} \frac{1-r^{20}}{1-r}$.
Daniel2
4-4-2016
#77994 - Wiskunde en economie - Iets anders