WisFaq!

Hoek bepalen tussen rechte en vlak

Beste,
ik probeer al even een oefening op te lossen maar het lukt me niet om hem op te lossen en ik zou dit moeten kunnen voor mijn toets.
De oefening gaat als volgt:
Bepaal de hoeken tussen

a) de rechten a $\leftrightarrow$ { x = 2 - 3r
{ y = -1+4r (r element van $\mathbf{R}$)
{ z = r
en b $\leftrightarrow$ { x - 2y+2z = 3
{ 3y-Z=7

b) de vlakken alpha $\leftrightarrow$ 5x+3y+3z = -2, en beta $\leftrightarrow$ 2x-y+3z=10

c) de rechte c $\leftrightarrow$ { x = 1
{y-z=2 en het vlak gamma $\leftrightarrow$ y=0

Hopelijk kunnen jullie er aan uit
en alvast bedankt om me het uit te leggen!

Liesl
23-3-2016

Antwoord

Beste Liesl,

Een algemene methode is elke vraag herleiden naar het vinden van een hoek tussen twee (goed gekozen) vectoren:
- voor de hoek tussen rechten, zoek de hoek tussen twee richtingsvectoren;
- voor de hoek tussen vlakken, zoek de hoek tussen twee normaalvectoren;
- voor de hoek tussen een rechte en een vlak: zoek de hoek tussen een richtingsvector van de rechte en een normaalvector van het vlak.

Let wel dat de hoek die je op deze manier vindt, niet noodzakelijk de gezochte hoek is. Bij een willekeurige keuze van richtingsvector(en) resp. normaalvector(en), zou je in de eerste twee gevallen bijvoorbeeld een stompe hoek kunnen vinden. De 'echte' (kleinste, scherpe) hoek is dan de supplementaire hoek. In het derde geval (rechte-vlak) is het nog iets ingewikkelder: daar krijg je de (anti-)complementaire hoek. Maak een schets om dit in te zien.

Als je op deze manier de hoek tussen twee vectoren wil bepalen, kan je gebruikmaken van het scalair product:
$$\vec v \cdot \vec w = \| \vec v \| \| \vec w \| \cos \alpha$$maar ook
$$\vec v \cdot \vec w = v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3$$Gelijkstellen van beide rechterleden laat je toe om op te lossen naar $\cos \alpha$ en daar $\alpha$ uit te halen.

Ik zet je op weg voor opgave a. Van rechte a is een richtingsvector gewoon af te lezen, namelijk $(-3,4,1)$. Bij rechte b heb je iets meer werk: ofwel zet je de vergelijking om naar een parametervoorstelling, ofwel neem je het vectorieel product van de normaalvectoren van beide vlakken in het stelsel: dit levert immers een richtingsvector van de rechte die gevormd wordt als snijlijn van beide vlakken. Je zou moeten vinden: $(-4,1,3)$ of een niet-nul veelvoud hiervan. Gebruik nu bovenstaande formules om de hoek te bepalen.

Kan je zo verder?

mvg,
Tom

td
24-3-2016