WisFaq!

Impliciet gedefinieerde functies

Hallo
Als een inleidende les op impliciet gedefinieerde functies, kregen we o.a. deze oefening:
Beschouw de vergelijking y² + 2xy = 16
De vraag was of we y kunnen zien als eenduidige functie van x in de buurt van een gegeven punt, bv. (3,2) dat aan de vergelijking voldoet, m.a.w. of er een open interval A dat 3 bevat en een open interval B dat 2 bevat zo dat er een unieke functie f bestaat waarvoor f(3) = 2 en f(x)²+2xf(x) = 16 voor alle x Î A
We moesten ook bekijken of f afleidbaar is, dus of f'(3) bestaat?
Ik weet echt niet hoe ik dit moet aanpakken.
Mag ik als x gewoon 3 nemen en als y 2 en dan invullen ind e vergelijking, maar dan kom ik iets uit dat niet klopt, dus dan bestaat er geen functie?
Bij de afgeleide zou ik ook niet weten hoe ik de functie kan omvormen naar y, dus weet ook niet zo goed hoe ik de afgeleide dan vind...
Kan iemand me helpen!
Bedankt!
Met vriendelijke groeten
Julie

Julie
20-3-2016

Antwoord

Zo'n vraag kun je op twee manieren aanpakken.

1.
Probeer de vergelijking op te lossen `naar $y$'. In dit geval lukt dat wel met behulp van kwadraat afsplitsen: $(y+x)^2=x^2+16$ en dus $y=-x\pm\sqrt{x^2+16}$; dat geeft twee mogelijke functies en daarvan kun je controleren er eentje voldoet.

2.
Pas de impliciete-functiestelling toe, dat is hier ongetwijfeld de bedoeling; kijk maar in je boek wat je moet controleren: de functie $F(x,y)=y^2+2xy-16$ moet continu differentieerbaar zijn, er moet gelden $F(3,2)=0$, en de partiële afgeleide van $F$ naar $y$ in $(3,2)$ moet ongelijk aan $0$ zijn.

kphart
20-3-2016