WisFaq!

Bewijs deelbaarheid

Hallo,

Hoe kan ik het volgende bewijzen?
Als a en b twee verschillende reële getallen zijn dan geldt:

(x-a)(x-b)|A(x) $\leftrightarrow$ (x-a)|A(x) en (x-b)|A(x)

Dank bij voorbaat

Mario
15-3-2016

Antwoord

Van links naar rechts lijkt me duidelijk.
Van rechts naar links: omdat $(x-a)\mathrel|A(x)$ en $(x-b)\mathrel|A(x)$ geldt $A(a)=A(b)=0$. Stap 1: er is een $B(x)$ met $A(x)=(x-a)\cdot B(x)$, dan geldt $0=A(b)=(a-b)B(b)$, dus $B(b)=0$. Maar dan volgt $(x-b)\mathrel|B(x)$ en dus $B(x)=(x-b)\cdot C(x)$ voor een polynoom $C$. Nu staat er $A(x)=(x-a)(x-b)C(x)$.

kphart
15-3-2016