WisFaq!

Re: Limieten en continuïteit in Multivariabele analyse

Vriendelijk dank! Ik zat er eigenlijk flink naast :(.

1. Het toepassen van de eps-delta definitie.

|x²y+xy²/(x²+y²)| =$<$ (|x|+|y|)(x²+y²)/(x²+y²)=|x|+|y|

dit benadert 0 als (x,y)$\to$(0,0). Meer formeel, als eps$>$0 gegeven is, en we nemen delta=epsilon, dan |f(x,y)-0|$<$eps als
0$<$|x|+|y|$<$delta, dus f(x,y) heeft limiet 0 als (x,y)$\to$(0,0) per definitie van de limiet.

2. De definiet uit mijn boek

f(x,y) is differentieerbaar in (a,b) als

lim f(a+h,b+k)-f(a,b)-hf_x(a,b)-kf_y(a,b)/(√(h²+k²))=0
voor (h,k)$\to$(0,0).

Als ik dit toepas vind ik

lim f(h,k)-f(0,0)-hf_x(0,0)-kf_y(0,0,)/(√(h²+k²))

Wat doet ik met f_x(0,0) en f_y(0,0)? Dit begrijp ik niet. f(0,0)=0. Wat kan ik zeggen over f_x en f_y in (0,0)?

Groeten,

Viky

viky
10-3-2016

Antwoord

1. Niet helemaal, je moet hebben als $\sqrt{x^2+y^2}$<$\delta$ dan $|f(x,y)|$<$\varepsilon$. Nu geldt $|x|+|y|\le2\sqrt{x^2+y^2}$, dus moet je $\delta=\varepsilon/2$ hebben.
2. Je kunt $f_x(0,0)$ met behulp van de definitie bepalen:
$$
\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}
$$
en idem voor $f_y(0,0)$ (ook dit zou in je boek moeten staan).

kphart
11-3-2016