WisFaq!

Inductie

Hallo wisfaq,

Ik wil graag met inductie het volgende bewijzen

1/1·2 + 1/2·3 + 1/3·4 +....1/n(n+1) = 1-1/(n+1), n=1,2,3

Ik heb geen probleem met het bewijs zelf. Het enige dat ik niet begrijp is waarom het volgende geldt (na het invullen van n+1 in de formule)

1-1/(n+1) + 1/((n+1)(n+2))= 1-1/(n+2)

Groeten,

Viky

viky
7-3-2016

Antwoord

$
\eqalign{
& 1 - \frac{1}
{{n + 1}} + \frac{1}
{{(n + 1)(n + 2)}} = \cr
& \frac{{(n + 1)(n + 2)}}
{{(n + 1)(n + 2)}} - \frac{{n + 2}}
{{(n + 1)(n + 2)}} + \frac{1}
{{(n + 1)(n + 2)}} = \cr
& \frac{{(n + 1)(n + 2) - (n + 2) + 1}}
{{(n + 1)(n + 2)}} = \cr
& \frac{{n^2 + 3n + 2 - n - 2 + 1}}
{{(n + 1)(n + 2)}} = \cr
& \frac{{n^2 + 2n + 1}}
{{(n + 1)(n + 2)}} = \cr
& \frac{{(n + 1)^2 }}
{{(n + 1)(n + 2)}} = \cr
& \frac{{n + 1}}
{{n + 2}} = \cr
& \frac{{n + 2 - 1}}
{{n + 2}} = \cr
& 1 - \frac{1}
{{n + 2}} \cr}
$

Dat ging nog wel...

WvR
7-3-2016