WisFaq!

Integreren m.b.v de substitutiemethode

Ik heb eerder vaadaag een opgave opgestuurd maar u heeft hem verkeerd begrepen, hier volgt het dan opnieuw :
[integraal]d(x)/(x²+4) met ondergrens 0 en bovengrens 1.
Ik moet hier de substitutie methode toepassen.
hopelijk is hij nu duidelijker
groetjes bob

bob
20-2-2003

Antwoord

Hoi,

Integreren is altijd een beetje 'gissen en missen', dus gewoon iets proberen (met in het achterhoofd wat er uit zou kunnen komen) en achteraf de uitkomst differentiëren om te checken of je de originele functie uitkomt.

Hoe begin je hier nu aan? Wel, eerst moet je de integralen van de algemene functies kennen. Maar hoe algemeen is algemeen? Je zou moeten weten dat òdx/(1 + x²) = arctan(x) + c. De arctan(x) is trouwens de inverse tangens-functie ookwel boogtangens genoemd. Indien je deze integraal niet wist, was je ook niet in staat de opgave op te lossen.
Eerst gaan we de onbepaalde integraal berekenen, en daarna gaan we ons pas iets aantrekken van de grenzen (want die zijn eigenlijk maar bijzaak). Om van de noemer iets in de trant van ...² + 1 te krijgen moeten we eerst de 4 buiten haakjes zetten, krijgen we voor de noemer 4(¹/₄x² + 1) en dan mogen we die 4 voor het integraalteken zetten, want een constante mag voor het integraalteken geplaatst worden. ¹/₄òdx/(¹/₄x² + 1). Nu gaan we substitutie toepassen, want die ¹/₄x² zou iets moeten worden als u². Wat moeten we nu voor u kiezen? Kies u =(¹/₄x²) = ¹/₂x.
du = ¹/₂ dx en bijgevolg is dx = 2du.
¹/₄ò(2du)/(u² + 1), nu mogen we die 2 weer naar voren zetten krijgen we ¹/₂òdu/(u² + 1) en nu zijn we bij onze standaard-integraal. ¹/₂arctan(u)+ c = ¹/₂arctan(¹/₂x) + c.
Ter controle differentiëren levert de oorspronkelijke functie op (ga dit zelf na).
Maar we hebben nog geen rekening gehouden met de grenzen.
Eerst voor de x een 1 invullen, en daarna het antwoord aftrekken met x = 0, dus ¹/₂[arctan(¹/₂) - arctan(0)] 0,2318238045.

Begrijp je 'm? Indien er nog moeilijkheden zijn, laat het weten!

Groetjes,

Davy
21-2-2003