WisFaq!

Berekenen van een dubbele integraal

Hallo wisfaq,

Ik wil graag de volgende dubbele integraal berekenen

$\int{\int{}}$[1/((4x²-y²)²)]dxdy over een gebied D dat wordt begrensd door 2x-y=1, 2x-y=3, 2x+y=2, 2x+y=4.

Het gebied is een ruitje. Ik heb de vier punten van dit ruitje bepaald en hiermee de grenzen van de dubbele integraal. x gaat van 3/4 tot 7/4, en y van -¹/₂ tot 3/2.
Is dit correct?

Maar ik zie niet hoe ik de functie kan integreren.

f(x,y)=1/((4x²-y²)²) ? Ik dacht eerst aan een substitutie, u=4x²-y², maar dan is 8xdx=du.

Groeten,

Viky

• Integreren

viky
29-2-2016

Antwoord

Je grenzen voor $x$ en $y$ zijn in zoverre correct dat $x$ en $y$ niet buiten die grenzen vallen, maar die grenzen, $\frac34\le x\le\frac74$ en $-\frac12\le y\le\frac32$, bepalen een rechthoek die een stuk groter is dan het ruitje.
Je hebt ongetwijfeld iets geleerd over het transformeren van dergelijke integralen; in dit geval ligt het voor de hand $u=2x-y$ en $v=2x+y$ te stellen. Dan kom je via de Jacobiaan en de gegeven grenzen uit op
$$
\frac14\int_1^3\int_2^4 \frac1{u^2v^2}\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u
$$

kphart
29-2-2016