WisFaq!

Vrije variabele in een aangevulde matrixstelsel

Hallo,

Neem het volgende stelsel, dat in gereduceerde echelonvorm staat.

x₁ + 2·x₂ - 15·x₅ = -67
x₃ + 13·x₅ = 53
x₄ - x₅ = -6
0 = 0 (weggevallen bij het vegen vh stelsel)

Mijn vraag: er wordt hier gesproken van vrije variabelen, maar ik kan niet helemaal vat krijgen op dit begrip. Het stelsel is in mijn ogen onoplosbaar 3 vergelijking 5 variabelen, dus twee onbekenden (waarom mag deze waarde gekozen worden). Kan iemand mij dit begrip beter uitleggen?

Groetjes,

Oscar Kromhof

oscar
11-2-2016

Antwoord

Hallo

Als er in de gereduceerde vorm evenveel vergelijkingen als onbekenden zijn, is er juist één oplossing.
Als er meer vergelijkingen zijn, is de kans klein dat deze oplossing ook voldoet aan deze bijkomende vergelijkingen en is er dus geen oplossing.
Als er meer onbekenden zijn (zoals in jouw geval), mag men deze onbekenden een willekeurige waarde (vrije variabelen) geven, zodat er terug evenveel onbekenden als vergelijkingen zijn.
In jouw voorbeeld kan men x₂ en x₅ als vrije variabelen nemen.

Stel : x₂ = m en x₅ = k
De vergelijkingen worden dan :
x₁ = -67 -2m +15k
x₂ = m
x₃ = 53 - 13k
x₄ = -6 + k
x₅ = k

Dit levert dan oneindig veel oplossingen.

Neem bv. m = 1 en k = 4
De oplossing is dan :
x₁ = -67-2+60 = -9
x₂ = 1
x₃ = 53-52 = 1
x₄ = -6+4 = -2
x₅ = 4

Of neem m = 3 en k = 5
De oplossing is dan:
x₁ = -67-6+75 = 2
x₂ = 3
x₃ = 53-65 = -12
x₄ = -6+5 = -1
x₅ = 5

Zo kun je dus oneindig veel oplossingen bedenken door m en k gewoon een willekeurige waarde te geven.

LL
11-2-2016