WisFaq!

Machtreeks

Waarom is een machtreeks met positieve convergentiestraal differentieerbaar? Ik moet dit rechtstreeks aantonen mbv de definitie van afgeleide. Kunt u mij misschien helpen?

Annemijn
8-2-2016

Antwoord

Het is niet zozeer de machtreeks die differentieerbaar is maar de somfunctie $s(x)$. Voor het gemak nemen we $0$ als centrum, dus $s(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ voor $x\in(-R,R)$, waar $R$ de convergentiestraal is.
Neem nu $x$ en $h$ zo dat $x$ en $x+h$ beide in $(-R,R)$ zitten en schrijf het differentiaalquotient uit:
$$
\frac{s(x+h)-s(x)}h=\frac1h\sum_{n=0}^\infty a_n\bigl((x+h)^n - x^n\bigr)
$$
Analyseer dat verschil goed; je kunt laten zien dat de limiet voor $h\to0$ bestaat en gelijk is aan
$$
\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}
$$

kphart
8-2-2016