WisFaq!

Limiet berekenen met sin, cos en tangens

ik moet volgende limiet uitrekenen:
lim((sin(x)*tg(2x))/(cos(3x)-cos(4x)) voor x--0
De uitkomst zou 4/7 zijn.
De noemer heb ik al kunnen omzetten via de verdubbelingsformules. Je krijgt dan: lim((sin(x)*tg(2x))/(2(-sin²(3/2x)+sin²(2x)) voor x--0
Maar ik zou niet weten, hoe ik nu verder moet rekenen. Kunnen jullie mij helpen?

Roel De Nijs
19-2-2003

Antwoord

je gebruikt in de noemer een 'verkeerd' uitgangspunt.
Gebruik de formule cosx - cosy = -2sin[¹/₂(x+y)]sin[¹/₂(x-y)].
Het totaalplaatje wordt dan:

[sin(x).tan(2x)]/[2sin(3¹/₂x).sin(¹/₂x)]

Vervolgens werk je naar wat standaardlimieten toe.
Je weet bijvoorbeeld dat lim[sin(x)/x] = 1 als x®0
Maar dan geldt ook lim[sin(3¹/₂x)/(3¹/₂x)] = 1 als x®0
Ook voor het quotiënt tan(x)/x is de limietwaarde 1.

In de breuk die we al afgeleid hebben staat nu bijv. in de noemer de factor sin(¹/₂x). Door boven de streep nu ¹/₂x erbij te schrijven, komt er een standaardlimiet in beeld. Behandel de andere stukken op dezelfde manier, maar kijk wel of het totaal van de breuk niet veranderd is.
Laat dan x tot 0 naderen en het resultaat moet dan volgen.
Overigens: misschien kan de stelling van l'Hopital ook ingezet worden.

MBL
19-2-2003