WisFaq!

Twee gebieden met dezelfde oppervlakte

Ik probeer een moeilijke vraag op te lossen omtrent integralen maar slaag er niet in om het antwoord te vinden.

Bepaal een vergelijking van een rechte L door de oorsprong die het gebied tussen de grafiek van de functie met voorschrift y=-x²+6x en de x-as in twee gebieden verdeeld met dezelfde oppervlakte.

Joran
23-1-2016

Antwoord

Beste Joran,

De gegeven functie is een parabool door (0,0) en (6,0) en met x = 3 als x-coördinaat van de top; maak een schets. De oppervlakte begrensd door deze parabool en de x-as kan je met een eenvoudige integraal bepalen, dat is 36.

Een rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt $m$ heeft $y=mx$ als cartesische vergelijking. Bepaal het snijpunt van de parabool met deze rechte, als x-coördinaat zou je $x = 6-m$ moeten vinden (controleer dit).

De rechte verdeelt het gebied onder de parabool en boven de x-as in twee delen. De oppervlakte van het 'bovenste' deel kan je makkelijk via integratie bepalen, dat is immers de integraal van 0 tot aan het snijpunt bij x = (6-m) van de parabool min de rechte, dus van de functie $-x^2+6x - mx$.

Reken deze integraal uit en stel de gevonden waarde (die nog zal afhangen van de gezochte rico $m$) gelijk aan de gevraagde helft van de totale oppervlakte, dus aan 18. Los op naar $m$.

Kan je zo verder?

mvg,
Tom

td
24-1-2016