WisFaq!

Re: Re: Wat is de afstand van twee bollen?

Als je in een glazen hoge buis ronde korrels brengt en van onder naar boven water omhoog pompt gaan de bollen zweven.
In theorie liggen de bollen ideaal in elkaar en heb je een porositeit van 0,26. In de praktijk lees je op internet dat deze waarde nooit voorkomt en meestal 0,40 is. Als het water hard genoeg stroomt gaan de korrels op een zeker moment uit elkaar, los van elkaar bewegen en neemt de afstand tussen de korrels toe en dus ook de porositeit. In een eerder item hebben jullie een mooie formule gegeven tussen de afstand tussen de bollen en de porositeit.
x=D-d
x=$\pi$/( 3√2 (1-$\epsilon$) ) d³
waarbij $\epsilon$ de porositeit is.

Met Rob de student hebben we een proefje gedaan en valt het op dat de afstand tussen de bollen lineair toeneemt met de snelheid van het water dat je door de ronde buis stuurt. Je rekent deze snelheid uit met v=Q / ($\pi$/4 D²)
Waarbij Q de water stroom bijv in L/uur.

Als je dus dan zeggen dat x = c₁ · v
of iets lastiger x = c₁ · v + c₂
kan je dan de c₁ eventueel misschien zelfs c₂ afleiden?

Is het zo iets duidelijker?

Rob & Onno
14-1-2016

Antwoord

Het verband dat je noemt tussen de afstand x tussen bollen en de porositeit volgt niet uit de formule die ik eerder gaf. Dit verband kan niet juist zijn, wat blijkt uit de verschillende eenheden links en rechts van het is-gelijk-teken: de eenheid links is meter (m), rechts is dit m³.

Eerder gaf ik de formule:

(d/D)³ = (3√2)/ $\pi$ × (1-ε)

Met D=x+d wordt dit:

(d/(x+d))³ = (3√2)/ $\pi$ × (1-ε)

Door links en rechts de derdemachtswortel te nemen, kan x worden geïsoleerd.

Om te voorkomen dat we over verschillende situaties spreken, zet ik even op een rijtje welke voorstelling ik mij nu maak van de (geïdealiseerde) situatie:
Stel, we laten één ronde korrel in een verticale buis met water zakken. De korrel zakt met een snelheid waarbij de neerwaartse kracht (zwaartekracht min opwaartse kracht volgens Archimedes) gelijk is aan de stromingsweerstand (visceuze weerstand). Wanneer het water met gelijke snelheid omhoog stroomt, blijft de korrel zweven. Ik noem dit even de kritieke snelheid v_k. Wanneer de stroomsnelheid kleiner is dan v_k, dan zakt de korrel naar de bodem.
Wanneer we nu zeer veel korrels in het water brengen, dan gaan deze al zweven bij een lagere stroomsnelheid dan v_k. Dit komt omdat de korrels een deel van de oppervlakte van doorsnede van de buis innemen. De formule v=Q / ($\pi$/4 · Diameter²) gaat niet meer op: dezelfde volumestroom Q moet door een kleinere oppervlakte, dus de stroomsnelheid rond de korrels is groter. Wanneer deze plaatselijke stroomsnelheid groter wordt dan v_k, dan komen de korrels los van elkaar. Er stelt zich een evenwicht in waarbij de korrels zo ver van elkaar verwijderd zijn dat de stroomsnelheid rond de korrels weer gelijk wordt aan v_k.

Dit is een zeer geïdealiseerde voorstelling, welke uitgaat van een vlak snelheidsprofiel, geen turbulentie, verwaarlozing van effecten door drukverschillen volgens Bernoulli enz. Toch verwacht ik dat de korrels zich min of meer homogeen verdelen tot een zekere hoogte. Op plaatsen waar korrels dichter bij elkaar komen stijgt de stroomsnelheid van het water en gaan korrels verder omhoog, op plaatsen waar korrels te ver uit elkaar gaan zakt de stroomsnelheid waardoor korrels terugzakken en weer dichter bij elkaar komen.

Nu de eigenlijke vraag: is een (lineaire) formule af te leiden die het verband weergeeft tussen de stroomsnelheid van het water en de afstand tussen de korrels?
Vanuit alleen de wiskunde zal dit zeker niet lukken. Zo'n formule is immers afhankelijk van natuurkundige parameters, zoals viscositeit van het water, dichtheid van water en van de korrels, vorm van de korrels enz. Dit zijn geen wiskundige gegevens.
Via emperische weg is dit wellicht wel te doen. Het totale volume van de korrels is te meten door deze onder te dompelen in een bekende hoeveelheid water en het totale volume van water+korrels te meten. Wanneer bij verschillende stroomsnelheden van water goed is vast te stellen tot welke hoogte korrels opstijgen, is bij elke stroomsnelheid de porositeit te berekenen. Wanneer ik deze grootheden definieer:

h = hoogte tot waar de korrels opstijgen
V_w+k = volume waterkolom met korrels, dus $\pi$/4·Diameter²·h
V_k = volume van droge korrels

Dan volgt de porositeit uit:

porositeit = (V_w+k-V_k)/V_w+k

De afstand x tussen de korrels is dan weer te berekenen met de formule die ik eerder gaf (wel even op de juiste manier herleiden!). Door dit experiment bij verschillende stroomsnelheden van het water uit te voeren, kan het verband tussen stroomsnelheid en afstand tussen korrels bepaald worden. Met een goede datafit kan dan wellicht een formule gevonden worden die dit verband beschrijft.

Tot slot: ik weet niet hoe jullie hebben vastgesteld dat x lineair toeneemt met v. Mocht je een lineair verband hebben gevonden tussen h en v, dan betekent dit niet dat x lineair toeneemt. Immers, wanneer d klein is t.o.v. D, dan is het volume waarin de korrels zich verspreiden evenredig met x³, dan is h ook evenredig met x³.

GHvD
15-1-2016