WisFaq!

Functie op Q

Waarom is de volgende functie lokaal strikt stijgend en globaal NIET strikt stijgend?
f(x) = x met $x \in \mathbb{Q}$ met $x < \sqrt{2}$
f(x) = x - 2 $x \in \mathbb{Q}$ met $x > \sqrt{2}$

Ik heb dit proberen te tekenen, maar zie het niet in...
Bedankt!

Julie
12-1-2016

Antwoord

Hallo Julie,

Duidelijk is dat bijvoorbeeld f(2)=0 en f(1)=1. Dus de functie is niet globaal strikt stijgend.

Omdat $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ is f(x) keurig gedefinieerd voor alle $x \in \mathbb{Q}$. Maar de voorwaarden $x$<$\sqrt{2}$ en $x$>$\sqrt{2}$ verdeelt $\mathbb{Q}$ ook in twee open intervallen.

En voor open intervallen geldt dat er bij elk element $y$ een open intervalletje $\langle y-\epsilon, y+\epsilon\rangle$ bestaat dat een deelinterval is van het open interval.

Omdat f(x)=x en f(x)=x-2 strikt stijgend zijn is de gecombineerde functie dat voor elke x lokaal ook, omdat je een dus bij elke x een open interval kunt vinden zodat je bij ofwel x ofwel x+2 blijft.

Ik vind zelf overigens g(x)=tan(x) een sprekender voorbeeld van een lokaal wel, maar globaal niet strikt stijgende functie op $\mathbb{Q}$ (maar dat is geen functie van $\mathbb{Q}$ naar $\mathbb{Q}$, maar naar $\mathbb{R}$).

Met vriendelijke groet,

FvL
12-1-2016