WisFaq!

Absolute waarde in ongelijkheid: gevalsonderscheid

Ik heb de opdracht een verzameling te bepalen van x waarvoor geldt: abs(x+3) $\le$ abs(x+1). Op het zicht weet ik dat dat zo is voor alle x'en gaande van -oneindig tot -2. Maar ik moet kunnen werken met een gevalsonderscheid, zeker wanneer het complexer wordt. Voor die opgave heb ik eerst uitgerekend x+3$\le$x+1; erna x+3$\le$-x-1. Deze gaven beide aan dat x kleiner of gelijk moet zijn aan -2. Daarna berekende ik -x-3$\le$x+1 en -x+3$\le$-x-1. Deze geven x $\ge$-2 en 0 $\le$ 2. Deze komen niet overeen met de uitkomst? Hoe weet ik welke voorwaarden van belang zijn voor de uitkomst en welke niet? Ik denk dat ik het idee rond gevalsonderscheid misschien niet helemaal begrepen heb, nu maak ik gewoon elke absolute waarde eens positief en eens negatief, zoals je hierboven ziet...

Ineke
28-12-2015

Antwoord

Je moet je afvragen wanneer |x+3| = x+3 en wanneer |x+3| = -x-3.
Het eerste geldt voor x$\ge$-3 en het tweede geldt voor x$\le$-3.
Zo ook: |x+1| = x+1 als x$\ge$-1 en |x+1| = -x-1 als x$\le$-1.
Je hebt de gegeven opgave netjes uitgesplitst in vier deelongelijkheden, maar je houdt geen rekening met het bovenstaande.
Wanneer je bijv. de deelongelijkheid x+3$\le$-x-1 oplost, dan ben je enerzijds gebonden aan x $\ge$-3 en anderzijds aan x$\le$-1 ofwel -3$\le$x$\le$-1.
Van het antwoord x$\le$-2 blijft dus maar over -3$\le$x$\le$-2.

Grafisch gezien gaat het om twee geknikte rechte lijnen waarbij de knikken zitten bij -3 en bij -1.
Daarom moet je de volgende gevallen bekijken: x$\le$-3 en -3$\le$x$\le$-1 en ten slotte x$\ge$-1

MBL
28-12-2015