WisFaq!

Domein van een inverse functie

Met het zoeken van een inverse functie heb ik geen probleem. Soms moet je het domein beperken van je functie opdat hij injectief is. In dergelijk geval, als je dan een inverse hebt, hoe weet je dan wat het domein is? Een voorbeeld: y=√(1-x²). Het domein van die functie is [-1,1]. Opdat het injectief is, beperk je het domein tot [0,1]. De inverse functie is dan x = √(1-y²). Nu moeten we hiervan het domein bepalen. Ik dacht dat dat [-1,1] zou zijn, maar het antwoord is [0,1]. De manier waarop ik kwam bij dat foute domein van de inverse, was gewoon de grafiek van de inverse bekijken, dat [-1,1] toonde... Kan iemand me vertellen hoe ik het domein van welke inverse dan ook (na beperking domein originele functie), correct kan bekomen?

Caeline
28-12-2015

Antwoord

Het bepalen van de formule van de inverse is nét iets meer dan het verwisselen van de x en de y.
In dit geval geldt: y = √(1-x²) en 0$\le$x$\le$1 en (dus!) 0$\le$y$\le$1.
Grafisch gesproken gaat het over een kwartcirkel met straal 1 die in het eerste kwadrant ligt, het domein is voorgeschreven en het bereik is daarvan het gevolg.
Na de vervanging van x door y en y door x wordt dit:
x = √(1-y²) met 0$\le$y$\le$1 en 0$\le$x$\le$1 en het laatste stukje van deze regel laat je het domein al zien.
Van de ontstane vergelijking maak je dan y = -√(1-x²) of
y = √(1-x²) maar vanwege het feit dat 0$\le$y$\le$1 werd gevonden, kan het alleen om de tweede mogelijkheid gaan.
Kortom, y = √(1-x²) met domein[0,1] is de inverse.

Het is in dit geval dezelfde functie als waarmee je begon.
Dat viel ook wel te voorspellen, want die kwartcirkel in het eerste kwadrant ligt symmetrisch t.o.v. de lijn y = x. Alle berekeningen waren dus eigenlijk overbodig!

MBL
28-12-2015