WisFaq!

Limieten in symbolen

Hallo
In mijn cursus staan er heel wat definities m.b.t. limieten van rijen in symbolentaal. Een oefening zegt het volgende:
Geef een voorbeeld van een rij (x_n)nϵN in R die voldoet aan
voor alle $\epsilon>$ 0, bestaat een n₀ ϵ N, voor alle n ϵ N: n $\leq$ n₀ $\Rightarrow$ |x_n+5| $<$ $\epsilon$
Er bestaat een n₀ ϵ N, voor alle $\epsilon>$ 0, voor alle n ϵ N: n $\leq$ n₀ $\Rightarrow$ |x_n+5| $<$ $\epsilon$

Maar ik snap het verschil niet in notatie, waardoor ik dus ook niet een voorbeeld kan geven van zo'n rij...
Kan iemand me helpen?
Met vriendelijke groet
Julie

Julie
27-12-2015

Antwoord

Hallo

Ik begrijp sommige symbolen in je vraag niet, maar ik vermoed dat het gaat over een rij die nadert naar -5.

Bv.: x_n = ^-5n/_(n+1)

Voor n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... zijn de termen x_n -2.5, -3.33, -3.75, -4, -4.17, -4.29, -4.37 ...
Voor grotere waarden van n naderen de termen x_n steeds dichter naar -5.
We drukken dit uit door te zeggen dat voor grote waarden van n, de termen x_n steeds korter liggen bij -5
Of:
Als we n groter nemen dan een bepaald groot getal n₀, zal het verschil tussen x_n en -5 zeer klein worden, namelijk kleiner dan een willekeurig (klein) getal $\epsilon$
Of:
Voor alle (zeer kleine) positieve waarden van $\epsilon$, bestaat er een (grote) waarde voor n₀, zodanig dat als we n groter nemen dan n₀, het verschil tussen x_n en -5 kleiner is dan de zeer kleine waarde van $\epsilon$
Dus

'$\epsilon>$0:$n₀$\in$N₀:'n$\in$N₀:n$>$n₀ $\Rightarrow$|x_n-(-5)|$<\epsilon$

Dus $\epsilon$ is willekeurig, maar zeer klein (vandaar), n₀ hangt af van de gekozen $\epsilon$ (vandaar)

Wil je bv. hebben dat het verschil tussen x_n en -5 kleiner is dan 0.5(=$\epsilon$), moet je n groter nemen dan 9 (= n₀), want x₁₀=-4.545
Wil je hebben dat het verschil tussen x_n en -5 kleiner is dan 0.3(=$\epsilon$), moet je n groter nemen dan 15 (= n₀), want x₁₆=-4.706
Wil je hebben dat het verschil tussen x_n en -5 kleiner is dan 0.1(=$\epsilon$), moet je n groter nemen dan 49 (= n₀), want x₅₀=-4.902
Maar hoe klein je $\epsilon$ ook neemt, je zult altijd een grote waarde voor n₀ vinden, zodanig dat voor alle n$>$n₀, zal gelden dat het verschil tussen x_n en -5 kleiner is dan $\epsilon$

Ok?

LL
27-12-2015