WisFaq!

Re: Re: Wat is de afstand van twee bollen?

Het is inmiddels een tijdje verder en wij hebben een aanvullende vraag hierover.
$\pi$/(3√2) $\approx$ 0,26
Maar wij komen op $\pi$/12 $\approx$ 0,26.
Klopt het wat wij doen?

Als een oneindig grote kolom gevuld is met exact ronde deeltjes en zijn deze opgestapeld volgens de kubisch reguliere dichtste of ideale bolstapeling, kan ook een (volumefractie) porositeit ε = 0.26 worden benaderd.

Bij de kubisch reguliere dichtste bolstapeling treedt er regelmaat op na vier lagen. Elke laag bestaat uit zo dicht mogelijk tegen elkaar aan geschoven bollen.
De lagen zijn zo op elkaar gestapeld dat de bollen precies in de holten van de andere bollen passen. De bol uit de vijfde laag zit weer precies boven de bol uit de eerste laag. Vast geworden edelgassen en sommige metalen zoals koper bezitten de kubisch reguliere dichtste bolstapeling
Elke éénheidscel bestaat uit een aantal bollen:

4 · ¹/₈ op de hoekpunten
2 · ¹/₄ op de zij-grensvlakken
2 · ¹/₂ op de zijvlakken
─────── +
2

Volume van de bollen in de éénheidscel:

Vbollen = 2·⁴/₃$\pi$R³

Het volume van de rechthoekige éénheidscel:

Véénheidscel = (4R)²·(2R)

Voor de porositeit geldt:

Vbollen
ε = ──────
Véénheidscel

8/3 $\pi$ R³
ε = ───────
32 R³

ε = $\pi$/12

ε $\approx$ 0.26

Rob & Onno
20-12-2015

Antwoord

Hallo Rob en Onno,

Allereerst: $\pi$/(3√2) is niet ongeveer 0,26 maar ongeveer 0,74. Verder treedt bij de kubisch dichtste bolstapeling regelmaat op na drie lagen: de vierde laag ligt precies boven de eerste, zie Wikipedia: dichtste bolstapeling. De figuur rechtsboven toont deze stapeling, de lagen worden aangegeven met A, B en C.

Een eenheidscel in deze stapeling is een kubus. Ik begrijp niet hoe jullie aan een rechthoekige eenheidscel komen, volgens mij heb je niet de juiste voorstelling van zo'n eenheidscel. Let er wel op dat ribben van deze kubus niet in het vlak van de lagen liggen. In plaats daarvan staat deze kubus ten opzichte van de lagen 'op zijn punt', in de wikipediafiguur is dit goed weergegeven. (De getekende kubus is niet echt een eenheidscel, voor een echte eenheidcel zouden de hoekpunten in het midden van bollen moeten liggen. De echte eenheidscel is dus wat kleiner, maar heeft dezelfde oriëntatie).

Een duidelijke schets van een eenheidscel zie je op Wikipedia: kubisch vlakgecentreerd. De bollen langs een diagonaal raken elkaar, dus een diagonaal van een zijvlak heeft de lengte 4R. De lengte van een ribbe is dan 2√2R, het volume van zo'n eenheidscel is dan:

V_eenheidscel=4/3·$\pi$·(2√2R)³ = 16√2R³

In een eenheidscel vinden we:

• 8 keer ¹/₈ bol op elk hoekpunt,
  
• 6 keer ¹/₂ bol in het midden van elk vlak,

Totaal dus 4 bollen met een gezamenlijk volume van ¹⁶/₃$\pi$R³

De vullingsgraad is dan:

¹⁶/₃$\pi$R³ / 16√2R³ = $\pi$/(3√2) 0,74

OK zo?

GHvD
21-12-2015