WisFaq!

moeilijke goniometrische ongelijkheid

sin²((x/3) - (2 /5)) cos²(x/3)

ik heb al urenlang zitten tobben op deze ongelijkheid, maar kom niet tot een uitkomst
ik heb vooral moeilijkheden met die 2pi/5 (=72°)
ik heb alsnog geen truc gevonden om deze te elimineren.

kan iemand mij aub helpen
dank bij voorbaat (leerling 5ASO Wetenschap-wisk 8uur belgie)

francis
18-2-2003

Antwoord

Hoi landgenoot ,

Inderdaad geen eenvoudige oefening...
We zullen de vgl eerst gelijkstellen aan nul zodat we de x-en kennen.
sin²(x/3-2 /5)-cos²x/3=0
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa
Dus: (sinx/3cos2 /5-sin2 /5cosx/3)² - cos²x/3 = 0
helemaal uitschrijven geeft:
sin²x/3cos²2 /5-2sinx/3·cosx/3·sin2 /5·cos2 /5 + sin²2 /5·cos²x/3-cos²x/3 = 0
We delen alles door cos²x/3 dan krijgen we:
tg²x/3cos²2 /5 - 2tgx/3·sin2 /5·cos2 /5 + sin²2 /5 - 1 = 0
dat laatste deel kunnen we vereenvoudigen door de formule
1 = cos²a+sin²a
We krijgen dus:
tg²x/3cos²2 /5 - 2tgx/3·sin2 /5·cos2 /5 - cos²2 /5 = 0
we delen nu alles door cos²2 /5 en we krijgen:
tg²x/3 - 2tgx/3·tg2 /5 - 1 = 0
Als je goed kijkt zie je dat dit een vierkantsvgl is
we stellen tgx/3=y

y² -2·tg2 /5·y -1 =0
D=4+4tg²2 /5
y_1,2 = [2tg2 /5 ± (4+4tg²2 /5)]/2
Als je y hebt gevonden neem je de inverse tangens en je zal voor x_1,2 bekomen: 243 en -27 (in graden)
Zo, de nulpunten zijn gevonden...doe jij de rest nog ?

Koen
18-2-2003