WisFaq!

Gemeenschappelijke priemfactor

Deze vraag heeft ook te maken met de stelling van pythagoras (x²+y²=z²). Uit de stelling van Pythagoras blijkt dat y²=z²-x² en dat je y² ook kunt schrijven als y²=(z-x)(z+x).

De vraag is: ga nu na als geldt y²=(z-x)(z+x), dat de factoren (z+x)/2 en (z-x)/2 beide een kwadraat moeten zijn. Aanwijzing: hebben x en z gemeenschappelijke priemfactoren? Zo nee, dan weet je dat z+x en z-x ook geen gemeenschappelijke priemfactoren hebben. gebruik hierbij het feit dat alle priemfactoren van y²=2²*((z-x)/2)((z+x)/2) een even exponent hebben.

Ik zou graag willen weten wat gemeenschappelijke priemfactoren zijn en natuurlijk zou ik graag de oplossing van het vraagstuk hierboven willen weten

Imp
18-2-2003

Antwoord

Laten we beginnen met alleen te verklappen wat een gemeenschappelijke priemfactor is. Dan kun je het gevraagde bewijs misschien best zelf voltooien.
Neem als voorbeeld maar eens de getallen 12 en 15.
Ontbinden in hun priemfactoren geeft: 12 = 2 x 2 x 3 en 15 = 3 x 5.
Je ziet nu dat in beide ontbindingen het getal 3 voorkomt.
En dat is nu precies wat ze met dat gemeenschappelijke bedoelen.

Nog een: stel je hebt de getallen a = 2³ . 3 . 5² . 7 en b = 3³ . 7 . 11³ . 23
Gemeenschappelijk zijn dan de priemgetallen 3 en 7.

MBL
18-2-2003