WisFaq!

Vlakkenwaaier

Goede dag ,
Gegeven zijn 2 kruisnede rechten met a: x-2/3=y-5/-7=z+1/5
b:x/4=y-1/4=z+1/2

Zoek een stelsel cartesische vergelijkingen van de rechte d die, door P(1,1,0) loopt en a en b snijdt de rechte d. En d is de snijlijn van alpha en beta.

alpha =vlak(P,a) en Beta= vlak (,b)

We schrijven de kruisnede rechten als een stelsel en we krijgen dan:

(x+3y-29=0)
(y+7z-18=0)

alpha behoort tot deze vlakkenwaaier
alpha: k(7x+3y-29)=m(5y+7z-18)=0
P(1,1,0) behoort tot alpha en -19k+-13m=0 en k=13 en m=-19

We vullen in voor het vlak alpha na herleiding:

alpha: 13x-8y-19z-5=0 (1)

Voor betawat rekenwerk vind ik het stelsel
(x-y+1=0)
(y-2z-3=0)en k-2m=0 met P(1,1,0) en k=2 en m=1
Beta: 2x-y-2z-1=0 (2)

Nu vraagt men beide vlakken terug te vinden d.m.v determinanten.
Is dat dan met Sarrus uitrekenen of via een rijwaarde of kolomwaarde met de meeste nullen....

x   y   z  1
2   5  -1  1   nulpunten van rechte a
3  -7   5  1   richtingsgetallen van a
1   1   0  0   waarden CO(P=(1,1,0)

Maar zo kom er niet uit...
Of:

 x   y   z    1
 7   2   0   -29
 0   5   7   -18
 1   1   0     1 

En zo ook niet.
Mijn probleem is dan ook de juiste gegevens in DET.tabel te zetten
Uitrekenen doe ik zelf wel .
Dank voor wat hulp aub.
Groetjes

Rik Lemmens
6-12-2015

Antwoord

De vergelijkingen van de vlakken alpha en beta heb je correct opgesteld. Je zoekt nu de lijn door P die de twee gegeven lijnen a en b snijdt.

Bepaal daartoe het snijpunt Q van lijn b met vlak alpha. De lijn PQ is dan de gevraagde lijn. Deze lijn snijdt b uiteraard in Q en omdat PQ in vlak alpha ligt, zal PQ in het algemeen lijn a snijden (want a ligt ook in alpha). Alleen wanneer PQ en a evenwijdig blijken te zijn, is er geen oplossing.

Overigens kun je i.p.v. b te snijden met alpha ook kiezen voor het snijpunt van a en beta om de rol van Q te spelen. Welke keuze bij de bepaling van Q het meeste rekenwerk geeft, is vantevoren niet in te schatten.

Overigens dienen in de parametrizeringen van de lijnen a en b de tellers wel tussen haakjes te staan.

MBL
6-12-2015