WisFaq!

Bewijzen van een limiet van een bepaalde functie

Dit voorbeeld staat in mijn boek:
Beschouw de functie
f: $\mathbf{R}$²\{(0,0)} $\to$ $\mathbf{R}$: (x,y) $\to$ (x³+y³)/(x²+y²)
Merk op dat (0,0) een ophopingspunt is van $\mathbf{R}$²\{(0,0)}.
We tonen aan met behulp van de definitie dat
lim (x,y)$\to$(0,0) f(x,y) = 0 (·)

Eerst stellen we vast dat voor alle (x,y) volgende afschatting geldt
|(x³+y³)/(x²+y²) | $\le$ |(x³)/(x²+y²)| + |(y³)/(x²+y²)| $\le$|x| + |y|
Beschouw nu een willekeurige rij (xk, yk) in $\mathbf{R}$²\{(0,0)}
die naar (0,0) convergeert. UIt vorige afschatting volgt dat |f(xk,yk)| $\le$ |xk| + |yk| voor alle k$\in\mathbf{N}$
Nu is het niet meer moeilijk om te kunnen besluiten dat (·) geldt.
Mijn vraag hierbij:
Ik snap hoe je aan de afschatting komt (met de eerste driehoeksongelijkheid), maar niet waarom je die hier nodig hebt? Waarom kan je (·) besluiten als je die afschatting hebt gevonden.
Bestaat er een stappenplan dat ik kan volgen als ik zoiets moet bewijzen? Want dat zou verhelderend werken.
Bedankt op voorhand.

Julie
6-12-2015

Antwoord

De afschatting is gebruikt om de absolute waarde van $f(x,y)$ te relateren aan de afstand van $(x,y)$ tot $(0,0)$. Je krijgt $(*)$ door te bewijzen dat $\lim_kf(x_k,y_k)=0$ voor elke rij $\langle(x_k,y_k)\rangle_k$ die naar $(0,0)$ convergeert:
Als $\epsilon$ positief is dan is er een $K$ zo dat $|x_k|$ en $|y_k|$ keliner zijn dan $\epsilon$, voor $k\ge K$; voor die $k$ geldt dan ook $|f(x,y)|$<$\epsilon$.
Er is geen echt `standaard' stappenplan maar de driehoeksongelijkheid en anderen kunnen helpen op weg naar het eind.

kphart
6-12-2015