WisFaq!

Riemannsom exact

Hoe bepaal ik met de Riemannsom de exacte oppervlakte tussen 2 en 5 van x³

Bjorn Buitink
28-11-2015

Antwoord

Het is wat werk.
Verdeel, voor een natuurlijk getal $n$, het interval $[2,5]$ in $n$ gelijke stukken, met verdeelpunten $2+\frac{3k}{n}$, dus ($k=0,1,\ldots,n$).
De linker Riemann-som krijg je door in elk interval het linkereindpunt te nemen en de functiewaarde met $\frac3n$ te vermenigvuldigen, en dan alles op te tellen:
$$
\frac3n\sum_{k=0}^{n-1}\left(2+\frac{2k}n\right)^3
$$
evenzo maak je de rechter Riemann-som:
$$
\frac3n\sum_{k=1}^n\left(2+\frac{2k}n\right)^3
$$
de gezochte oppervlakte ligt tussen die twee getallen.
Die twee sommen kun je uitrekenen, zie de formules op de hieronder genoemde Wikipedia-pagina.
Als je van beide uitkomsten de limiet neem voor $n$ naar oneindig krijg je twee keer dezelfde waarde en dat is de gezochte oppervlakte.

Zie Wikipedia: Formule van Faulhaber [https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber's_formula]

kphart
29-11-2015