WisFaq!

Exponenten in een vergelijking wegwerken met logaritmen

Ik heb al enkele vergelijkingen aan de hand van de website kunnen oplossen, maar nu zit ik opnieuw vast met de ingewikkeldere opgaven... Ik weet gewoon vaak niet welke stap ik moet zetten...

Opgave 1

log₃(x-3) = 1/2·log₃(2) + log₈₁(3x-13)²

Bij deze oefening heb ik geen idee hoe ik hierbij ooit kan komen tot x=5 of x=7. Ik had gedacht aan de productregel te gebruiken, maar ik kom er niet.

Opgave 2

15·3^x+1 - 243·5^x-2 = 0

Hierbij heb ik geprobeerd om het tweede deel na het minteken naar de andere kant van de vergelijking te zetten en dan van beide kanten het logaritme te nemen, maar dan kom ik uit op heel wat logaritmen tesamen, die niet uitkomen op x=3.

Opgave 3

3^2x-3 - 10·3^x-2 + 3 = 0

Hier wilde ik hetzelfde proberen als bij opgave 2, een deel naar de andere kant brengen en dan van elke kant het logaritme nemen en zo hopelijk tot x=1 of x=3.

Ik wou ook bij de opgaven proberen om uiteindelijk iets van de vorm te krijgen van een tweedegraadsvergelijking, zodat ik de discriminant kan gebruiken. Maar ik geraak dus echt niet en zie opnieuw niet in wat ik over het hoofd zie...

Ineke
22-11-2015

Antwoord

Het is vooral een kwestie van het toepassen van de rekenregels. Die rekenregels kan je vinden op Rekenregels voor machten en logaritmen

Opgave 1

$
\eqalign{
& {}^3\log (x - 3) = \frac{1}
{2} \cdot {}^3\log (2) + {}^{81}\log (3x - 13)^2 \cr
& {}^3\log (x - 3) = \frac{1}
{2} \cdot {}^3\log (2) + \frac{{{}^3\log (3x - 13)^2 }}
{{{}^3\log (81)}} \cr
& {}^3\log (x - 3) = \frac{1}
{2} \cdot {}^3\log (2) + \frac{{2 \cdot {}^3\log (3x - 13)}}
{4} \cr
& {}^3\log (x - 3) = \frac{1}
{2} \cdot {}^3\log (2) + \frac{1}
{2} \cdot {}^3\log (3x - 13) \cr
& 2 \cdot {}^3\log (x - 3) = {}^3\log (2) + {}^3\log (3x - 13) \cr
& {}^3\log (x - 3)^2 = {}^3\log (2\left( {3x - 13} \right)) \cr
& (x - 3)^2 = 2\left( {3x - 13} \right) \cr
& Enz. \cr}
$

...en dan verder oplossen.

Opgave 2

$
\eqalign{
& 15 \cdot 3^{x + 1} - 243 \cdot 5^{x - 2} = 0 \cr
& 3 \cdot 5 \cdot 3^{x + 1} - 3^5 \cdot 5^{x - 2} = 0 \cr
& 3^{x + 1} - 3^4 \cdot 5^{x - 3} = 0 \cr
& 3^{x - 3} - 5^{x - 3} = 0 \cr
& 3^{x - 3} = 5^{x - 3} \cr
& x - 3 = 0 \cr
& x = 3 \cr}
$

Daar moet je maar 's naar kijken. Daar heb je geen logaritmen bij nodig.

Opgave 3

$
\eqalign{
& 3^{2x - 3} - 10 \cdot 3^{x - 2} + 3 = 0 \cr
& 3^{2x} - 10 \cdot 3^{x + 1} + 3^4 = 0 \cr
& 3^{2x} - 30 \cdot 3^x + 81 = 0 \cr
& Neem\,\,y = 3^x \cr
& y^2 - 30y + 81 = 0 \cr
& (y - 3)(y - 27) = 0 \cr
& y = 3 \vee y = 27 \cr
& 3^x = 3 \vee 3^x = 27 \cr
& x = 1 \vee x = 3 \cr}
$

Je ziet: geen logaritme nodig!

WvR
22-11-2015