WisFaq!

Driehoeksmeetkunde

Gegeven is een gelijkbenige rechthoekige driehoek ABC, waarbij M het midden van AC is. Verder is F een punt tussen B en C op de lijn BC en de lijn FM snijdt de lijn AB in het punt E. Toon aan dat lijnstuk EF langer is dan lijnstuk AC. Ik weet niet zo goed hoe ik dit moet aanpakken. Er is aangegeven dat hoek ABC 45 graden is. Moet ik de stelling van thales gebruiken of met de theroie van gelijkbenige driehoeken?

Carmen
13-11-2015

Antwoord

Als we even aannemen dat $AB$ en $BC$ beide lengte $1$ hebben dan moeten we dus bewijzen dat $EF$ langer is dan $\sqrt2$. Noem de lengten van $BF$ en $BE$ even $x$ en $y$; laten we eerst aannemen dat $\frac12$<$x$<$1$. Dan geldt $y$>$1$ en in dat geval is de lengte van $EF$ gelijk aan $\sqrt{x^2+y^2}$. We moeten dus inzien dat $x^2+y^2$>$2$.

Dankzij de ongelijkheid van rekenkundig en meetkundig gemiddelde geldt $
\frac{x^2+y^2}2>\sqrt{x^2y^2}=xy
$ strikte ongelijkheid omdat $x\neq y$. Geldt nu $xy\ge1$?

Ja, door naar gelijkvormige driehoeken te kijken vind je dat $(y-\frac12):\frac12=\frac12:(x-\frac12)$ en dus $xy=\frac12(x+y)$ maar weer: $\frac12(x+y)$>$\sqrt{xy}$. Dus geldt $xy$>$\sqrt{xy}$ maar dat betekent $xy$>$1$.

Als $0$<$x$<$\frac12$ dan hoeft de ongelijkheid niet te kloppen: als $F$ dicht bij $B$ ligt is $EF$ heel kort. Probeer maar uit te zoeken voor welke $x$ je ongelijkheid nog steeds geldt.

Alternatief (weer in het geval $\frac12$<$x$<$1$): bekijk het midden, $N$, van $EF$; omdat $MF$ korter is dan $MC$ ligt $N$ boven $M$ en buiten de driehoek, dat betekent dat $NB$ langer is dan $MB$. Omdat $MB$ en $MC$ even lang zijn zijn we klaar.

Zie Ongelijkheid van rekenkundig en meetkundig gemiddelde [http://aw.twi.tudelft.nl/~hart/37/stukjes-pythagoras/jg40/augustus-1/node2.html]

kphart
13-11-2015