WisFaq!

Het getal e

In mijn wiskundecursus wordt het getal e gevonden via een bewijs a.d.h.v. rijen.

Ik zit echter op een bepaald moment vast in het bewijs, in de bijlage vind je het bewijs en waar de vraagtekens staan, daar zit ik vast (foto2).
Ik begrijp niet waarom ze daar k! $\ge$ 2^k-1 . En gezien ik dit niet begrijp, volg ik ook de daarop volgende stapjes niet goed…

Kan iemand me helpen?
Alvast bedankt!
Met vriendelijke groeten

Julie Delanote
25-10-2015

Antwoord

Hallo Julie,

In jouw vraag heb ik het teken $>$ even veranderd in $\ge$, zoals het ook in jouw boek staat.
De aanwijzing staat eigenlijk ook al in het boek:

k! = 2·3·4·5·...·(k-1)·k
2^(k-1) = 2·2·2·2·...·2·2

Beide rijtjes hebben (k-1) factoren, maar de factoren in het bovenste rijtje zijn groter dan de factoren in het onderste rijtje (alleen voor k=1 en k=2 zijn beide rijtjes gelijk). Voor k$>$2 is het product van het bovenste rijtje groter dan van het onderste rijtje.

Dit is geen formeel bewijs, maar laat (hopelijk) wel zien hoe het komt dat de uitspraak waar is. Een formeel bewijs kan je opstellen met volledige inductie: laat eerst zien dat k!$>$2^(k-1) voor k=3. Neem vervolgens aan dat de uitspraak waar is voor een zekere k en laat zien dat de uitspraak dan ook waar is voor k+1.

GHvD
25-10-2015