WisFaq!

Stelling bewijzen omtrent limieten van rijen

Hallo
Ik moet de volgende stelling bewijzen:
De rij (lxn)nÎ$\mathbf{N}$ convergeert en limnŽoneindig(lxn) = l.limnŽoneindig xn
Ik heb eerst geprobeerd via de definitie dit te verduidelijken, maar daar liep ik vast.
want ik probeer dit te bewijzen:
|lxn-la| $<$ e Hoe doe ik dit dan wel?
Bedankt!

Julie Delanote
25-10-2015

Antwoord

Het lijkt of er dit staat:
$$
\lim_{n\to\infty} l\cdot x_n = l\cdot\lim_{n\to\infty} x_n
$$
kennelijk onder de aanname dat de rij $\langle x_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}$ convergeert, zo te zien met limiet $a$.
Als $l=0$ is dit eenvoudig, daarom nemen we aan dat $l\not=0$.
De cruciale opmerking is dat $|l\cdot x_n-l\cdot a|$<$\epsilon$ gelijkwaardig is met $|x_n-a|$<$\epsilon/|l|$.

Nu kun je het bewijs als volgt opschrijven: zij $\epsilon$>$0$ en neem $N$ zo dat $|x_n-a|$<$\epsilon/|l|$ voor $n\ge N$, dan geldt ook $|l\cdot x_n-l\cdot a|$<$\epsilon$ voor $n\ge N$.

kphart
26-10-2015