WisFaq!

Re: Drie vergelijkingen met coefficienten oplossen

Ok na een tijdje puzzelen en narekenen zullen we de vraag iets anders stellen.
We hebben te maken met drie vergelijkingen in de vorm:

c_13 L³ + c_12 L² + c_11 L + c_10 = 0
c_23 L³ + c_22 L² + c_21 L + c_20 = 0
c_33 L³ + c_32 L² + c_31 L + c_30 = 0

In dit stelsel is L bekend maar de coëfficiënten niet. Die willen we graag oplossen zodat we de feitelijke onbekende a, b en c uit te rekenen zijn die nu als het ware verstopt zitten in de coëfficiënten c.
De vraag is hoe kunnen wij deze drie vergelijkingen met de drie onbekenden a,b en c oplossen analytisch?
Welke methode moeten wij nou gebruiken?

L³ L² L -
----------------------------------------------------------
vgl I c13 c12 c11 c10
vgl II c23 c22 c21 c20
vgl I II c33 c32 c31 c30

waarin a,b en c als volgt zitten verwerkt en die wij willen bepalen:

----------------------------------------------------------
vgl I 0 1 b/a (c-p1)/a
vgl II 1 4*b/(3*a) 2*(c-p3*p1)/a 4*p2*(1-p3)/a
vgl III 1 b/(a*p4) c/(a*p4²) (p2-p5)/(a*p4³)
----------------------------------------------------------

Student HU Gerard
23-10-2015

Antwoord

Je kunt alle vergelijkingen met $a$ vermenigvuldigen, en de derde met $p_4^3$. Dan krijg je
$al^2+bL+C=p_1$
$3aL^3+4bL^2+6cL=p_1p_2L+4p_2(p_3-p_1)$
$a(p_4L)^3+b(p_4L)^2+c(p_4L)=p_5-p_2$
Dat is een stelsel van drie lineaire vergelijkingen met drie onbekenden ($a$, $b$ en $c$) en de $p_i$ als parameters(?).
Je kunt het stelsel oplossen door elimineren of door de regel van Cramer te gebruiken; die kan hier nog te goed dienst doen om `mooie' uitdrukkingen voor $a$, $b$ en $c$ te geven.

Zie Wikipedia: regel van Cramer [https://nl.wikipedia.org/wiki/Regel_van_Cramer]

kphart
26-10-2015