WisFaq!

Integratiefactor bij DV

Goede avond,
IK heb volgende DV: De vorm is:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

(3y³-xy)dx-(x²+6xy)dy=0

Ik zoek van beide termen de partiële afgeleiden, de eerste naar en de tweede naar x en vind voor de eerste term :9y²-x en voor de tweede term:
-2x-6y afgeleid naar x (9y²-x is niet identiek aan -2x-6y
Dus : geen exacte differentiaalvergelijking.
Ik trachtte al , met sommige formules te komen tot een passende integratiefactor zoals bijvoorbeeld
1/Mx+Ny of 1/Mx-My of gewoon een aftrekking van de beide partiële afgeleiden gedeeld door M of N.
En als ik die factor heb , kan ik verder door die in te voegen tot een exacte vergelijking en dan kan ik wel verder werken denk ik. De oplossing zou zijn:

3y²+xLN(xy)=Cx ( C = constante)

Vriendelijke groeten

Rik Lemmens
15-10-2015

Antwoord

Schrijf de DV als y²(3ydx-6xdy) +x(-ydx-xdy).
De theorie leert dan dat een integrerende factor die de DV exact maakt van de vorm x^ay^b is.
Vermenigvuldigen hiermee levert als eerste term op:
(3x^ay^b+3dx - 6x^a+1y^b+2dy)

Vertrek nu van d[3x^a+1y^b+3]=
3(a+1)x^ay^b+3dx + 3(b+3)x^a+1y^b+2dy.

Vergelijk dit nu met het eerste stuk van de DV en trek de conclusie dat
3(a+1)/3 = 3(b+3)/-6 wat leidt tot 2a+b = -5

Behandel het tweede stuk van de DV op identieke wijze en je vindt a - b = -1
zodat ten slotte blijkt a = -2 en b = -1
Daarmee is de integrerende factor gevonden.
Hiermee vermenigvuldigen leidt al snel tot het antwoord dat je meestuurde.

MBL
1-11-2015