WisFaq!

Re: Een differentiaalvergelijking

Dag Tom,
Ik heb een probleem met dit soort" partieël"integreren.
Integreer ik naar x dan zijn alle "y constanten. Leg nog eens wat verder uit als je even tijd hebt .
Groeten,
Rik

Rik Lemmens
13-10-2015

Antwoord

Beste Rik,

Als je bijvoorbeeld $x\sqrt{x^2+y^2}-y$ naar $x$ integreert, dan mag de 'integratieconstante' nog afhangen van $y$, het is dus een (onbekende) functie van $y$. Noteer bijvoorbeeld als volgt:
$$\int x\sqrt{x^2+y^2}-y \,dx = \frac{(x^2+y^2)^{3/2}}{3}-xy+c(y)$$met $c(y)$ een nog te bepalen functie van $y$. Om te weten wat $c(y)$ moet zijn, kan je deze primitieve (naar $x$) terug afleiden naar $y$ en vergelijken met:
$$\frac{\partial f}{\partial y} = y\sqrt{x^2+y^2}-x$$waaruit zal volgen dat $c'(y) = 0$ zodat $c(y)=c$ (in dit geval) gewoon een constante is.

mvg,
Tom

td
14-10-2015