WisFaq!

Een differentiaalvergelijking

Volgend probleem dient zich aan:
(x√(x²+y²)-y))dx+((y√(x²+y²)-x))dy=0
dM/dy=xy/(√(x²+y²))-1
dN/dx=yx/(√(x²+y²))-1.
de partiële afgeleiden geven een zelfde resultaat voor de beide termen tussen haakjes bij de opgave.. De DV is dus exact. Maar wat verder?
ALs ik nu groepeer kom ik er nog niet...
x√(x²+y²)dx+y√(x²+y²)dy -(ydx+xdy)0=
waarbij ik de laatste term zou kunnen schrijven als d(xy).
Maar dan raak ik zoek in ... de mist.
Groeten

Rik Lemmens
13-10-2015

Antwoord

Beste Rik,

Vermits de differentiaalvergelijking exact is, bestaat er een functie $f(x,y)$ zodat de dv geschreven kan worden als:
$$\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = 0 \Leftrightarrow df = 0$$Het vinden van deze functie $f$ zorgt dan voor de oplossingen $f(x,y) = c$ in impliciete vorm.
Om $f$ te vinden kan je $x\sqrt{x^2+y^2}-y$ integreren naar $x$ of $y\sqrt{x^2+y^2}-x$ integreren naar $y$; kan je zo verder?

mvg,
Tom

td
13-10-2015