WisFaq!

Norm voldoet aan de driehoeksongelijkheid, bewijs?

In mijn cursus staat:
'De norm voldoet aan de driehoeksongelijkheid, d.w.z.
'x,y$\in\mathbf{R}$ⁿ : ||x+y||$\le$||x||+||y||

Eronder wordt het bewijs gegeven, maar ik begrijp de verschillende stappen niet.

Zij x = (x₁, x₂, ..., x_n) en y = (y₁, y₂, ..., y_n).

Dan is voor elke l $\in\mathbf{R}$:
0$\le$ (x₁+ly₁)² + ... + (x_n+ly_n)²
= (x₁² + 2lx₁y₁ + l²y₁² +...+ x_n² + 2lxⁿyⁿ + l²y_n²
= ||x||² +l²||y||² + 2lS
met S = x₁y₁ +...+ x_ny_n

Als bovenstaande kwadratische uitdrukking in l voor elke l$\in\mathbf{R}$ positief moet zijn, dan moet de discriminant negatief (of nul) zijn, dus S² - ||x||²||y||² $\le$ 0 of dus S$\le$||x||||y||

Nu is
||x+y||² = (x₁+y₁)² +...+ (x_n+y_n)²
= ||x||² + ||y||² + 2S $\le$ ||x||² + ||y||² + 2|S|
$\le$||x||² + ||y||² + 2||x||||y|| = (||x|| + ||y||)²

Vanaf 'Als bovenstaande uitdrukking in l voor elke ... ' begrijp ik het bewijs niet meer... Kan iemand mij helpen?

Julie Delanote
4-10-2015

Antwoord

Beste Julie,

Dat de uitdrukking $\| x \|^2 + l^2\| y \|^2 2 +2lS$ niet negatief kan zijn, volgt uit de eerste regel (na "Dan is voor elke l..."). Nu het herschreven is in deze vorm herken je echter een kwadratische veelterm in de variabele $l$, namelijk (vergelijk met de standaardvorm $al^2+bl+c$):
$$\| y \|^2 l^2 + 2Sl + \| x \|^2$$Als de discriminant van deze veelterm groter is dan 0, dan is de veelterm niet overal positief (er zijn dan twee verschillende nulpunten, de veelterm verandert er van teken). Dat kan niet, dus het bewijs vervolgt met uit te drukken dat de discriminant (b²-4ac) kleiner dan of gelijk aan 0 moet zijn.

Kan je hiermee verder?

mvg,
Tom

td
4-10-2015