WisFaq!

Differentiëren

Gegeven: y= e^-x·cos(x)

Bepaal de 4de afgeleide
De eerste dy/dx= -1e^-x·cos(x) + e^-x ·sin(x)
Ik zie wel dat -1e^-x·cos(x)=-y
Ik kom echter niet verder
Het antwoord van de opgave luidt: de 4de afgeleide +4y=0
gaarne enige uitleg hoe je tot deze oplossing moet komen
joep

• Differentiëren

Joep
10-9-2015

Antwoord

De eerste afgeleide:

$
\eqalign{
& y = e^{ - x} \cdot \cos (x) \cr
& y' = - e^{ - x} \cdot \cos (x) + e^{ - x} \cdot - \sin (x) \cr
& y' = - e^{ - x} \left( {\cos (x) + \sin (x)} \right) \cr}
$

Dan de tweede afgeleide:

$
\eqalign{
& y' = - e^{ - x} \left( {\cos (x) + \sin (x)} \right) \cr
& y'' = e^{ - x} \cdot \left( {\cos (x) + \sin (x)} \right) + e^{ - x} \cdot \left( { - \sin (x) + \cos (x)} \right) \cr
& y'' = 2e^{ - x} \cdot \sin (x) \cr}
$

De derde afgeleide:

$
\eqalign{
& y'' = 2e^{ - x} \cdot \sin (x) \cr
& y''' = - 2e^{ - x} \cdot \sin (x) + 2e^{ - x} \cdot \cos (x) \cr
& y''' = 2e^{ - x} \left( { - \sin (x) + \cos (x)} \right) \cr}
$

...en dan krijg je:

$
\eqalign{
& y''' = 2e^{ - x} \left( { - \sin (x) + \cos (x)} \right) \cr
& y^{(4)} = - 2e^{ - x} \left( { - \sin (x) + \cos (x)} \right) + 2e^{ - x} \left( { - \cos (x) - \sin (x)} \right) \cr
& y^{(4)} = 2e^{ - x} (\sin (x) - \cos (x) + 2e^{ - x} \left( { - \cos (x) - \sin (x)} \right) \cr
& y^{(4)} = 2e^{ - x} \cdot - 2\cos (x) \cr
& y^{(4)} = - 4e^{ - x} \cdot \cos (x) \cr}
$

Dan ben je er wel...

$
\eqalign{
& y^{(4)} = - 4e^{ - x} \cdot \cos (x) \cr
& y^{(4)} = - 4y \cr
& y^{(4)} + 4y = 0 \cr}
$

Tada! Gewoon doorzetten dus!

WvR
10-9-2015