WisFaq!

Re: Differentiaalvergelijking met 2 variabelen en wortelvormen

Dag Mbl,
Bij het herrekenen kom ik tot:
$\int{}$dx/x=-$\int{}$(1+√(1+v²)·dv/v en v=y/x
En daar zit ik vast
1 ste lid lnCx
2 de lid -lnv-$\int{}$√(1+v²)·dv/v en kan niet tot een oplossing voor deze integraal komen...
Vriendelijke groeten,
Rik

Rik Lemmens
9-9-2015

Antwoord

De integraal van het quotiënt √(1+x²)/x kun je aanpakken door eerst de substitutie √(1+x²) = t te nemen, hetgeen oplevert 1+x² = t² en dus xdx = tdt.
Dit substituerend in de gegeven integraal leidt tot een nieuwe integraal, te weten $\int{}$t²/(t²-1)dt en deze is via splitsing te vinden.
Daarna moet je de variabele t weer omzetten naar de variabele x.
Het eindantwoord is √(1+x²) + Ln(x) - Ln(1+√(1+x²))

In de leerboeken kom je dit type integraal zeker tegen, waarbij er bijvoorbeeld goniometrische substitutie wordt toegepast of de hyperbolische functies komen om de hoek kijken. En uiteraard kun je op tal van plaatsen een online-integratie laten uitvoeren.

MBL
10-9-2015