WisFaq!

Integraal wat vreemd

Dag Wisfaq-team,
Volgende integraal zou toch handig met partiële integratie kunnen gevonden worden.
Stel: integraal x²tg^-1(x)dx
Dan kan ik dadelijk overgaan naar 1/tgx of cotgx , denk ik.
Ik werk verder:
I(x²cotgxdx) en stel x²=u du 2xdx en
dv =cotgxdx en v=ln(sinx)
Invullen geeft
=x²ln(sinx)-2I(ln(sinx).xdx
=x².ln(sinx)-2(x²/2.ln(sinx)-Ix²/2.cotgx)dx
met u=lnsinx en du =cotgxdx en dv=xdx en v=x²/2
en dan loop ik vast als ik vereenvoudig
x².ln(sinx-x².ln(sinx)+I(x²cotgx)dx
Wat loopt er fout bij deze integraal. Ik loste een reeks van 70 integralen op , sommige met wat moeite maar geraak er telkens uit. Maar deze blijkbaar niet . Is er ergens een tekenfout en is de bedoeling een vergelijkende integraal in het tweede lid over te brengen naar het eerste lid , de gegeven I? Ik denk dat het zoiets is...
Vriendelijke groeten,
Rik

Rik Lemmens
21-7-2015

Antwoord

Dag Rik,

Partiële integratie werkt, maar de andere keuze voor u en v is in dit geval gemakkelijker. Stel u = Bgtan(x), dan is du = 1/(1+x²) dx en neem dv = x² zodat v = x³/3.

$$\int x^2 \, \mbox{Bgtan(x)} \, dx = \frac{x^3}{3}\mbox{Bgtan(x)} - \frac{1}{3}\int \frac{x^3}{1+x^2}\, dx$$
Die laatste integraal is een gewone veeltermbreuk.

mvg,
Tom

td
21-7-2015