WisFaq!

(partieel) Integreren van absolute waarde

Beste Allen,

Ik loop vast op een vraag bij calculus 1. Ik moet van het volgende de integraal evalueren;

∫(|y|*e^(y^2))dy
bepaald van -2 tot 2

Met partiele integratie kom ik tot de conclusie dat e^(y^2) eigenlijk niet valt te integreren dus zal ik ervoor kiezen die te differentieren --$>$ 2y*e^(y^2)

Stel: f(x)=e^(y^2) -$>$ f'(x)=2y*e^(y^2)
g'(x)= |y| -$>$ g(x)=(1/2)y^2*sgn(y)
dus we krijgen:

∫(|y|*e^(y^2))dy = f(x)*g(x)-∫(f'(x)*g(x)) = e^(y^2)*(1/2)y^2*sgn(y)-∫(2y*e^(y^2)*(1/2)y^2*sgn(y))

Dit leidt nergens naar toe of wel?
Of moet ik gebruik maken van het feit dat het van -2 tot 2 loopt en deze termen in absolute waarde dus dezelfde waarde hebben?

Met vriendelijke groet,

Rutger

Rutger
16-7-2015

Antwoord

De functie f(x) = |x|.e^(x²) is een even functie wat betekent dat de grafiek symmetrisch is t.o.v. de Y-as. De oorzaak hiervan zijn het modulusteken en het kwadraat.
Dat betekent dat je je in je berekening kunt beperken tot de grenzen x = 0 t/m x = 2 en het resultaat vervolgens moet verdubbelen.
De primitieve functie (op het interval [0,2]) is F(x) = ¹/₂.e^(x²) en invullen van de grenzen geeft F(2) - F(0) = ¹/₂ e⁴ - ¹/₂
Het definitieve antwoord is dus e⁴ - 1

MBL
16-7-2015