WisFaq!

Kansverdelingen

Hallo,

Beetje bij beetje worden de verschillende discrete verdelingen in de kansrekening mij duidelijk. Tot op heden waren alle berekeningen met en zonder terugleggen en met en zonder volgorde hocus-pocus, maar ik heb alles op een rijtje kunnen zetten.

Als de volgorde niet belangrijk is, heb je bij terugleggen te maken met de 'binomiale verdeling' en bij zonder terugleggen met de 'hypergeometrische verdeling'. Hebben de kansverdeling als volgorde niet van belang is ook een speciale naam?

Alvast bedankt.

Ton
6-7-2015

Antwoord

Hallo Ton,

Jouw conclusie dat je bij experimenten met terugleggen (automatisch) te maken hebt met de binomiale verdeling, en bij experimenten zonder terugleggen te maken hebt met de hypergeometrische verdeling is niet juist. Wellicht is dit het geval voor de vraagstukken die je tot nu bent tegengekomen, maar er is meer.
Andersom geldt wel: de binomiale verdeling heeft altijd betrekking op kansexperimenten met terugleggen, de hypergeometrische verdeling betreft altijd kansexperimenten zonder terugleggen.

Om te herkennen of je te maken hebt met een binomiale verdeling, vind ik deze checklist wel handig:

• het gaat om een herhaald kansexperiment (het aantal experimenten wordt meestal aangeduid met n)
  
• er zijn steeds maar twee mogelijke uitkomsten (in kanstermen: succes of mislukking, maar hiermee wordt ook bedoeld: ja/nee, jongen/meisje, zwart/wit enz.)
  
• de kans op succes is elke keer hetzelfde (deze kans wordt meestal aangeduid met p, de kans op mislukking is dan ook constant: 1-p). Dit is het kenmerk 'met terugleggen'.
  
• je telt het aantal keer dat succes voorkomt, hiervoor wordt vaak de letter k gebruikt.

Het aantal keer succes is binomiaal verdeeld: voor elk aantal k keer succes kan je met behulp van de 'binomiaalformule' berekenen hoe groot de kans is dat dit gebeurt.

Bijvoorbeeld: Aad en Bert spelen 10 keer een tenniswedstrijd tegen elkaar. De winnaar krijgt een punt, de verliezer niet. We gaan ervan uit dat de kans dat Aad wint gelijk is aan 0,4 (de winstkans van Bert is dan 0,6). We tellen het aantal punten van Aad (dus: het aantal gewonnen wedstrijden van Aad.

Dit aantal punten is binomiaal verdeeld, want:

• het is een herhaald experiment: n=10.
  
• elke keer zijn er maar twee mogelijke uitkomsten: Aad wint (laten we dit succes noemen) of Aad verliest (mislukt)
  
• de kans op succes is constant: p(Aad wint)=0,4
  
• we tellen het aantal keer succes, want het aantal punten van Aad is gelijk aan het aantal keer dat succes optreedt.

Omdat het aantal punten binomiaal verdeeld is, kunnen we met behulp van de binomiaalformule berekenen hoe groot de kans is dat Aad bijvoorbeeld 5 punten behaalt, of hoogstens 3 punten krijgt enz.

Hetzelfde kunnen we doen voor twee voetbalteams. Nu blijkt het aantal punten niet binomiaal verdeeld te zijn, ook al is er sprake van een experiment waarbij de volgorde (van uitslagen) niet belangrijk is en zonder terugleggen (we gaan weer even uit van constante winstkans). We volgen even de checklist:

• het is wel een herhaald experiment (so far so good)
  
• maar: per keer zijn er drie mogelijke uitkomsten (winst, gelijkspel of verlies) in plaats van twee
  
• de kansen per experiment zijn wel constant (maar we kunnen geen uitkomst als 'succes' aanwijzen)
  
• het aantal punten wordt niet bepaald door het tellen van een aantal keer succes (maar: 3 punten bij winst en 1 punt bij gelijkspel).

Kortom: het puntentotaal van een ploeg is niet binomiaal verdeeld, we kunnen de binomiaalformule niet gebruiken om bijvoorbeeld de kans op 12 punten te berekenen.

Nu het antwoord op jouw eigenlijke vraag: je kunt geen naam geven aan een kansverdeling op grond van alleen 'volgorde wel of niet belangrijk' en/of 'met/zonder terugleggen', zoals uit mijn voorbeeld blijkt. Kansverdelingen die veel voorkomen, hebben vaak wel een naam gekregen (zie Wikipedia: Kansverdeling), maar de kansverdeling van het aantal punten bij een serie voetbalwedstrijden is (vanwege die 'vreemde' puntentelling) zo specifiek dat hiervoor geen formele naam is.

GHvD
7-7-2015