WisFaq!

Schets van een goniometrische functie

Goedemorgen,

Ik liep vanochtend tegen een naar mij mening lastige vraagstuk op. Ik moet de functie schetsen van sin(x)/x.

Nou, ik kwam op het idee de functie gelijk te stellen aan nul. Want dan kun je direct zeggen dat sin(x)=0^x is ongelijk aan 0. Dus je krijgt: sin(x)=sin($\pi$)^x ongelijk aan 0
Dit geeft x=$\pi$ + k2$\pi$ of x=k2$\pi$. Tussen -2$\pi$ en 2$\pi$ Þ x=-2$\pi$ v x=-$\pi$ v x=$\pi$ v x=2$\pi$.

Hoe nu verder? We weten dus dan de nulpunten gelijk zijn aan x=-2$\pi$, x=-$\pi$, x=$\pi$ en x=2$\pi$

Maar verder dan dit kom ik niet. Hulp=lief!

Oualid Belaidi
21-6-2015

Antwoord

De nulpunten van de functie y = sin(x) zijn x = k.$\pi$ en niet x = k.2$\pi$.
Vanwege de noemer moet x = 0 inderdaad vervallen.
Naarmate x verder komt af te liggen van 0, wordt de noemer als maar groter of kleiner (steeds negatiever) terwijl de teller opgesloten blijft tussen -1 en 1.
Dat betekent dat er voor die steeds groter wordende x van de breuk steeds minder overblijft. Vul maar eens wat stevige x-waarden in.
Mooier gezegd: sin(x)/x $\to$ 0 als |x| $\to$ $\infty$ wat in dit geval grafisch betekent dat de grafiek weliswaar rond de x-as blijft slingeren maar steeds minder ver van de x-as komt. Het verschijnsel van een horizontale asymptoot!
Blijft over wat je met x = 0 aan moet.
Gewoon x = 0 invullen lukt niet, maar je kunt wel getallen invullen die vlak in de buurt van x = 0 liggen. Als je dat doet, zul je zien dat het quotiënt dan erg dicht bij de waarde 1 komt. Overigens moet je de GR wel in radialen hebben staan!
De grafiek wil dus eigenlijk door het punt (0,1) gaan, maar precies op het moment dat x = 0 wordt bereikt is er even geen uitkomst. Dan valt er een perforatie in de grafiek in het punt (0,1).
Als je de grafiek plot met je GR of op een computer, dan zul je daar overigens niets van zien!

MBL
21-6-2015