WisFaq!

Integraal

Dag,

$\eqalign{\int_{1}^{3}\frac{2x+3}{5x^{2}-3x+7}dx}$

Hoe bereken je deze integraal?

Rik Lemmens
13-6-2015

Antwoord

Schrijf de noemer van de integrand eerst als 5[(x-0,3)² + 131/4] en zet de factor 5 vóór het integraalteken.

Je integrand is nu van de vorm (Ax + B)/[(x-a)² + b²] en hierop pas je de substitutie x-a = by toe.
In dit geval is dus a = 0,3 en b = ¹/₂√(131) en dx = ¹/₂√(131)dy

Na deze substitutie gaat de integraal over in een integraal met variabele y en heeft de vorm $\int{}$(Ay + C)/(y² + 1)dy
waarbij C = (aA + B)/b

Deze integraal is verder uit te rekenen door te splitsen in twee integralen waarna je er bent. Als je de primitieve in y gevonden hebt, kun je eerst terugvertalen naar variabele x, je kunt echter ook (en vaak is dat sneller) de grenzen voor x veranderen in de bijpassende grenzen voor y.
En vergeet niet die factor ¹/₅ die je er in het begin voorgezet hebt!

MBL
13-6-2015