WisFaq!

Differentiëren

Hallo, ik kom niet uit de volgende vragen. Er zit een onbekende parameter in verwerkt waardoor ik er eigenlijk nooit goed uitkom en niet weet waar ik moet beginnen.

Voor elke waarde van p is de familie van functies f_p gegeven door het voorschrift:

f_p(x)=x³+2px²+px

a. Bewijs dat elke functie f_p ten hoogste één nulpunt heeft met een positieve waarde van x.
b. Voor welke waarden van p heeft f_p precies één extreme waarde?
c. Voor welke waarden van p heeft de grafiek van f_p een buigpunt met daarin een horizontale raaklijn?

a. Ik heb de functie gelijk gesteld aan 0:

x³+2px²+px=0
x(x²+2px+p)=0
x=0 V x²+2px+p=0
x=0 V ...?

Moet ik hier misschien de discriminant gelijk stellen aan 0 (of kleiner dan 0)? Dus
D= 2p²-4·1·p = 2p²-4p
2p²-4p $\le$0
p(2p-4)$\le$0
p$\le$0 V 2p-4$\le$0
p$\le$0 V p$\le$2

Maar wat moet ik hier dan verder mee?

b. Hier wist ik niet wat de bedoeling was. Misschien dat het een parabool moet zijn omdat die altijd maar één extreme waarde hebben?

c. Buigpunt dus berekenen m.b.v. de tweede afgeleide 6x+4p?

Ik hoop dat u me op weg kunt helpen, alvast bedankt!

• Differentiëren

Julia
15-5-2015

Antwoord

Het kan makkelijker van de andere kant.
a) Stel 2 positieve nulpunten a en b dan (x-a)(x-b)=0 en dus x²-(a+b)x+a·b=0
Dat betekent dat de constante positief is en de coefficient voor de x negatief is. en dat is in tegenspraak met die p en 2p. Klaar
b) ???? Geen enkele want de grafiek van een veelterm met hoogste macht x³ loopt altijd van hoogte -oneindig naar hoogte +oneindig. Dan dus 0 of 2 lokale extrema. Vreemd!!! waar heb je deze vraag vandaan??
c) Er moet gelden f'(x)=0 (horizontale raaklijn) en f''(x)=0 (buigpunt)
3x²+4px+p=0 en 6x+4p=0 Hieruit moet je de p oplossen dus x moet weg !!
Begin met die laatste dan krijg je x= -2/3·p vul dit nu in in de eerste.
⁴/₃p²-⁸/₃p²+ p =0
Dat is niet moeilijk meer.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
15-5-2015