WisFaq!

Lijn met parameter snijdt twee punten van grafiek

Hoi, ik kom niet uit de volgende vraag:

Gegeven is de functie f(x)= x + √(8-x²)

1. Bereken algebraïsch het domein en het bereik van f.
2. De lijn met de vergelijking y= ax + 2 heeft precies twee punten met de grafiek van f gemeen. Bereken de waarden die a in dat geval kan aannemen.

Ik heb geprobeerd:

1. Df=[-√8;√8]
   Afgeleide bepalen:
   f'(x) = 1-^2x/_2√(8-x²)
   Van de GR kon ik aflezen dat de afgeleide 0 was bij x=2, maar dit kon ik uit mijn afgeleide eigenlijk niet opmaken...
   Een maximum is dan denk ik (2, 4) en het bereik [-2,4] maar dit is niet algebraïsch...
2. Ik weet niet hoe ik dit moet aanpakken, de ax + 2 gelijk stellen aan f(x) en dan oplossen? Hoe zou ik dat moeten doen? a moet denk ik wel groter zijn dan 0...

Alvast bedankt!

Julia
15-5-2015

Antwoord

a.
Het domein lijkt me juist.

Je afgeleide kan je nog ietsje vereenvoudigen maar verder wel in orde:

$
\eqalign{f'(x) = 1 - \frac{x}{{\sqrt {8 - x^2 } }}}
$

Je stelt dan de afgeleide gelijk aan nul en lost de vergelijking $f'(x)=0$ op voor mogelijke kandidaten voor de extremen:

$
\eqalign{
& 1 - \frac{x}
{{\sqrt {8 - x^2 } }} = 0 \cr
& \frac{x}
{{\sqrt {8 - x^2 } }} = 1 \cr
& x = \sqrt {8 - x^2 } \cr
& x^2 = 8 - x^2 \cr
& 2x^2 = 8 \cr
& x^2 = 4 \cr
& x = - 2(v.n.)\,\,of\,\,x = 2 \cr}
$

Met de grafiek:



Conclusies: het maximum is $4$ bij $x=2$. Het minimum is $-\sqrt{8}$ bij $x=-\sqrt{8}$. Dus het bereik is $[-\sqrt{8},4]$.

b.
De lijn y=ax+2 gaat door het punt (0,2). Afhankelijk van de waarde van $a$ heeft de lijn met f één of twee snijpunten. Dat kan je zien als je een aantal van die lijnen tekent:



De kunst is nu om te bedenken dat als de lijn precies in het meest linker punt de grafiek snijdt je nog net twee snijpunten hebt. Idem voor het meest rechter punt. Je moet $a$ dan kiezen tussen die twee waarden van $a$.

Lijkt je dat wat? Probeer het maar 's...

WvR
15-5-2015